27. a) Найдите все значения параметра a, для каждого из которых при любом значении параметра b система уравнений

Краткий ответ: \[ a\in\left[-\frac12;\frac23\right]. \]

Как это получается

Из первого уравнения \[ x+az^2=by \] выразим \(x\): \[ x=by-az^2. \]

Подставим во второе уравнение: \[ 2b(by-az^2)+(b-6)y=8z+8, \] то есть \[ (2b^2+b-6)y=2abz^2+8z+8. \tag{1} \]

Разложим коэффициент при \(y\): \[ 2b^2+b-6=(2b-3)(b+2). \]

Если \(b\ne -2\) и \(b\ne \frac32\), то коэффициент при \(y\) не равен нулю. Тогда для любого \(z\) можно из (1) найти \(y\), а затем \(x\). Значит, все такие \(b\) не накладывают ограничений на \(a\).

Проверяем только особые значения \(b\).

1. \(b=\frac32\).
Уравнение (1) превращается в \[ 3az^2+8z+8=0. \] Нужно, чтобы это уравнение имело хотя бы один действительный корень. При \(a=0\) корень есть; при \(a\ne0\): \[ D=64-96a\ge0 \] \[ a\le\frac23. \]

2. \(b=-2\).
Получаем \[ -4az^2+8z+8=0, \] или \[ az^2-2z-2=0. \] Снова \(a=0\) подходит; при \(a\ne0\): \[ D=4+8a\ge0 \] \[ a\ge-\frac12. \]

Оба условия должны выполняться одновременно: \[ -\frac12\le a\le\frac23. \]

Для любого \(a\) из этого отрезка при \(b=\frac32\) и \(b=-2\) найдётся подходящее \(z\), а при остальных \(b\) решение можно построить через уравнение (1). Вне отрезка хотя бы при одном из этих двух \(b\) действительного \(z\) нет, значит, нет и решения всей системы.