29. а) Найдите все значения параметра a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара (x; y) таких чисел x и y, что x² − 4xy + 6y² + 2y + 2y sin(πa) + sin²(πa) + 1 = 0.

Ответ: \(\displaystyle a=\frac12+2k,\quad k\in\mathbb Z\).

Решение. Обозначим \(s=\sin(\pi a)\). Тогда уравнение примет вид \[ x^2-4xy+6y^2+2(1+s)y+s^2+1=0. \] Выделим полные квадраты: \[ x^2-4xy+6y^2+2(1+s)y+s^2+1 = (x-2y)^2+2\left(y+\frac{1+s}{2}\right)^2+\frac{(s-1)^2}{2}. \] Слева стоит сумма неотрицательных слагаемых. Чтобы она была равна нулю, каждое слагаемое должно быть нулевым. Значит, необходимо \[ \frac{(s-1)^2}{2}=0, \] то есть \(s=1\).

Тогда можно взять \[ y=-\frac{1+s}{2}=-1,\qquad x=2y=-2. \] Пара \((-2;-1)\) действительно даёт решение.

Остаётся решить: \[ \sin(\pi a)=1. \] Отсюда \[ \pi a=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \] \[ a=\frac12+2k,\quad k\in\mathbb Z. \]