30. а) Найдите все пары (x; y) таких чисел x и y, что x² − x log₂(xy) − 2x + 0,5 log₂²(xy) + 2 = 0.

Ответ: \((x;y)=(2;2)\).

Обозначим \[ t=\log_2(xy),\qquad xy>0. \] Тогда уравнение примет вид \[ x^2-xt-2x+0{,}5t^2+2=0. \] Умножим на 2: \[ 2x^2-2xt-4x+t^2+4=0. \] Это выражение удобно свернуть в сумму квадратов: \[ (t-x)^2+(x-2)^2=0. \] Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю: \[ t-x=0,\qquad x-2=0. \] Значит, \[ x=2,\qquad t=2. \] Возвращаемся к логарифму: \[ \log_2(2y)=2, \] \[ 2y=2^2=4, \] \[ y=2. \]

Проверка: \[ 4-2\cdot2-2\cdot2+0{,}5\cdot2^2+2 =4-4-4+2+2=0. \] Условие \(xy>0\) тоже выполнено.

Идея: такие уравнения часто решаются сведением к сумме квадратов — тогда из неотрицательности квадратов сразу следует единственное возможное решение.