решите номер 13.3
Сверь числа и знаки с фото.
13.3. Решите неравенство:
- \(\sqrt{3x-2}<\sqrt{x+6}\);
- \(\sqrt{2x^2+6x-3}\ge\sqrt{x^2+4x}\);
- \(\sqrt{x^2+3x-10}<\sqrt{x-2}\).
Краткие ответы (13.3):
- \(x\in\left[\frac{2}{3};4\right)\);
- \(x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty)\);
- решений нет, \(x\in\varnothing\).
Ключевой принцип. Корень \(\sqrt{A}\) существует только при \(A\ge0\). Если обе части неравенства неотрицательны, их можно возвести в квадрат: \[ \sqrt{A}<\sqrt{B}\iff A\ge0,\ A<B; \] \[ \sqrt{A}\ge\sqrt{B}\iff B\ge0,\ A\ge B. \] В первом случае \(B>0\) получается автоматически, во втором \(A\ge0\) автоматически. Поэтому отдельно выписываем только те ограничения, которые не следуют из самого неравенства.
1) \(\sqrt{3x-2}<\sqrt{x+6}\).
\[ \begin{cases} 3x-2\ge0,\\ 3x-2<x+6 \end{cases} \iff \begin{cases} x\ge\frac{2}{3},\\ x<4. \end{cases} \] Значит, \(x\in\left[\frac{2}{3};4\right)\).
Проверка: при \(x=1\) получаем \(\sqrt1<\sqrt7\) — верно; при \(x=4\) получается равенство \(\sqrt{10}=\sqrt{10}\), поэтому \(4\) не включаем.
2) \(\sqrt{2x^2+6x-3}\ge\sqrt{x^2+4x}\).
\[ \begin{cases} x^2+4x\ge0,\\ 2x^2+6x-3\ge x^2+4x. \end{cases} \] Первое неравенство: \[ x(x+4)\ge0 \iff x\le-4 \ \text{или}\ x\ge0. \] Второе: \[ x^2+2x-3\ge0 \iff (x-1)(x+3)\ge0 \iff x\le-3 \ \text{или}\ x\ge1. \] Пересекаем множества: \[ x\le-4 \ \text{или}\ x\ge1. \] Ответ: \((-\infty;-4]\cup[1;+\infty)\).
Проверка: \(x=-4\) подходит: \(\sqrt5\ge0\); \(x=1\) подходит: \(\sqrt5\ge\sqrt5\). А \(x=-3\) не подходит, потому что \(x^2+4x=-3<0\), и правый корень не определён.
3) \(\sqrt{x^2+3x-10}<\sqrt{x-2}\).
\[ \begin{cases} x^2+3x-10\ge0,\\ x^2+3x-10<x-2. \end{cases} \] Первое: \[ (x+5)(x-2)\ge0 \iff x\le-5 \ \text{или}\ x\ge2. \] Второе: \[ x^2+2x-8<0 \iff (x+4)(x-2)<0 \iff -4<x<2. \] Эти множества не пересекаются. Значит, решений нет.
Отдельно видно, что \(x=2\) не подходит: получается \(0<0\), а это неверно.
Итог: сначала учитываем ОДЗ, затем сравниваем подкоренные выражения после возведения в квадрат; граничные точки проверяем отдельно из-за строгого или нестрогого знака.
Обсуждение
4 сообщенияа почему в условиях ко второму примеру, например, нет 2x²+6x-3≥0?
Хороший вопрос. Условие \(2x^2+6x-3\ge0\) действительно нужно для существования левого корня, но в системе оно автоматически следует из двух других условий.
Для неравенства \[ \sqrt{A}\ge\sqrt{B} \] достаточно записать: \[ \begin{cases} B\ge0,\\ A\ge B. \end{cases} \] Почему? Потому что тогда \[ A\ge B\ge0, \] то есть \(A\ge0\) получается само. Если правая часть неотрицательна и \(A\ge B\), то подкоренное выражение слева отрицательным быть не может.
В нашем случае: \[ A=2x^2+6x-3,\qquad B=x^2+4x. \] Мы записали \(B\ge0\) и \(A\ge B\). Из этого уже следует \(A\ge0\), поэтому отдельно писать \(2x^2+6x-3\ge0\) не нужно.
Можно было бы, конечно, записать полную систему: \[ \begin{cases} 2x^2+6x-3\ge0,\\ x^2+4x\ge0,\\ 2x^2+6x-3\ge x^2+4x, \end{cases} \] но первое неравенство в ней лишнее — ответ от этого не изменится, только вычислений станет больше.
Важно не перепутать: для \(\sqrt A\ge\sqrt B\) обязательно нужно \(B\ge0\). Если записать только \(A\ge0\) и \(A\ge B\), можно случайно включить точки, где правая часть отрицательна, а тогда исходное неравенство вообще не имеет смысла.
спасибо! но можете всё же решить с этим дополнительным условием?
Конечно. Решу второй пример полной системой — со всеми тремя условиями.
Пример 2. \(\sqrt{2x^2+6x-3}\ge\sqrt{x^2+4x}\).
Полная система: \[ \begin{cases} 2x^2+6x-3\ge0,\\ x^2+4x\ge0,\\ 2x^2+6x-3\ge x^2+4x. \end{cases} \]
1) Первое неравенство. \[ 2x^2+6x-3=0,\qquad D=36+24=60,\qquad \sqrt{D}=2\sqrt{15}, \] \[ x_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}. \] Так как ветви параболы направлены вверх, \[ x\le\frac{-3-\sqrt{15}}{2}\approx-3{,}44 \quad\text{или}\quad x\ge\frac{-3+\sqrt{15}}{2}\approx0{,}44. \]
2) Второе неравенство. \[ x(x+4)\ge0 \iff x\le-4 \ \text{или}\ x\ge0. \]
3) Третье неравенство. \[ 2x^2+6x-3\ge x^2+4x \iff x^2+2x-3\ge0 \iff (x-1)(x+3)\ge0, \] \[ x\le-3 \ \text{или}\ x\ge1. \]
Пересекаем все три множества.
Левая ветвь: из второго \(x\le-4\). При таких \(x\) автоматически \(x\le-3\), а также \(x\le-4<\frac{-3-\sqrt{15}}{2}\), то есть первое условие тоже выполнено. Получаем \(x\le-4\).
Правая ветвь: из второго \(x\ge0\), из третьего \(x\ge1\), значит \(x\ge1\). При \(x\ge1\) имеем \(x\ge1>\frac{-3+\sqrt{15}}{2}\), поэтому первое условие выполнено. Получаем \(x\ge1\).
Ответ: \(x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty)\).
Проверка границ:
- \(x=-4\): \(2\cdot16-24-3=5\ge0\), \(16-16=0\ge0\), \(5\ge0\) — подходит.
- \(x=1\): \(2+6-3=5\ge0\), \(1+4=5\ge0\), \(5\ge5\) — подходит, и это равенство, поэтому точка включается.
Видно, что первое условие ни одной точки из ответа не убрало — именно поэтому его и опускают в короткой записи. Но с ним решение полностью корректно и даёт тот же ответ.
