33. a) Решите систему: (2z − y)(y + 2) = 4y + 9, (x − 3)³ + y + 2 = 0, x² + z² = 4x, z ≥ 0.

Краткий ответ: решения в порядке \((x;y;z)\): \[ (2;-1;2)\qquad \text{и}\qquad (4;-3;0). \]

Как получить эти решения

Преобразуем первое уравнение: \[ (2z-y)(y+2)=4y+9 \] \[ 2z(y+2)=(y+3)^2. \] Теперь рассмотрим два случая.

1. \(z=0\)

Тогда \[ 0=(y+3)^2 \quad\Rightarrow\quad y=-3. \] Подставляем во второе уравнение: \[ (x-3)^3-3+2=0 \] \[ (x-3)^3=1 \quad\Rightarrow\quad x=4. \] Третье уравнение выполнено: \(4^2+0^2=4\cdot4\).

Получили решение \((4;-3;0)\).

2. \(z>0\)

Правая часть \(2z(y+2)=(y+3)^2\) неотрицательна, поэтому \(y+2>0\). Обозначим \[ u=y+2>0. \] Тогда \(y+3=u+1\), и \[ 2zu=(u+1)^2. \] Делим на \(u\): \[ 2z=\frac{(u+1)^2}{u}=u+2+\frac1u. \] По неравенству \(u+\frac1u\ge 2\): \[ 2z\ge 4 \quad\Rightarrow\quad z\ge 2. \]

С другой стороны, из уравнения окружности \[ x^2+z^2=4x \] получаем \[ z^2=4x-x^2=4-(x-2)^2\le 4. \] Так как \(z\ge 0\), то \(z\le 2\). Значит, \[ z=2. \] При этом из \(z^2=4-(x-2)^2\) следует \(x=2\), а из равенства в оценке \(u=1\), то есть \[ y+2=1 \quad\Rightarrow\quad y=-1. \] Получили \((2;-1;2)\).

Проверка

Для \((2;-1;2)\): \[ (4+1)(1)=5=4(-1)+9, \] \[ (-1)^3-1+2=0,\qquad 4+4=8=4\cdot2. \]

Для \((4;-3;0)\): \[ (0+3)(-1)=-3=4(-3)+9, \] \[ 1^3-3+2=0,\qquad 16=16. \]

Обе тройки подходят.