В ящике 6 жёлтых и 4 красных флажка. Наудачу извлекаются четыре флажка. Какова вероятность того, что: а) все они жёлтые; б) два из них жёлтые?

Краткий ответ: а) \(P(\text{все жёлтые})=\dfrac{1}{14}\approx0{,}071\); б) \(P(\text{ровно два жёлтых})=\dfrac{3}{7}\approx0{,}429\).

Как рассуждать

Всего флажков \(6+4=10\). Вынимаем сразу 4 флажка, порядок не важен, поэтому все исходы — это наборы по 4 флажка из 10:

\[ N=C_{10}^{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4!}=210. \]

Вероятность считаем по классическому определению: \[ P=\frac{\text{число подходящих наборов}}{\text{число всех наборов}}. \]

а) Все четыре жёлтые. Нужно выбрать 4 флажка только из 6 жёлтых: \[ m=C_{6}^{4}=15,\qquad P=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}\approx0{,}071. \]

б) Ровно два жёлтых. Тогда остальные два — красные: выбираем 2 жёлтых из 6 и 2 красных из 4: \[ m=C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}=15\cdot6=90, \] \[ P=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}\approx0{,}429. \]

Проверка. Если посчитать вероятности для 0, 1, 2, 3 и 4 жёлтых флажков, получим \[ \frac{1+24+90+80+15}{210}=\frac{210}{210}=1, \] значит, все варианты учтены и ничего не потеряно.

Принцип для похожих задач: определи общее число равновозможных выборок сочетаниями \(C_n^k\), затем отдельно посчитай подходящие выборки — для каждой группы предметов своим сочетанием — и раздели одно на другое.