5/(x-7) - 2/x - 3x/(x²-49) + 21/(49-x²)

Краткий ответ: \[ \frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}-\frac{3x}{x^{2}-49}+\frac{21}{49-x^{2}} =\frac{14}{x(x-7)},\qquad x\ne 0,\ x\ne \pm 7. \]

Как это получается

1. Замечаем, что \(49-x^{2}=-(x^{2}-49)\). Поэтому последняя дробь меняет знак: \[ +\frac{21}{49-x^{2}}=-\frac{21}{x^{2}-49}. \]

2. Теперь две последние дроби можно объединить: \[ -\frac{3x}{x^{2}-49}-\frac{21}{x^{2}-49} =-\frac{3x+21}{x^{2}-49}. \]

3. Раскладываем на множители: \[ x^{2}-49=(x-7)(x+7),\qquad 3x+21=3(x+7). \] После сокращения на \(x+7\) (при \(x\ne -7\)): \[ \frac{3x+21}{x^{2}-49}=\frac{3(x+7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{3}{x-7}. \]

4. Подставляем в исходное выражение: \[ \frac{5}{x-7}-\frac{2}{x}-\frac{3}{x-7} =\frac{2}{x-7}-\frac{2}{x}. \]

5. Приводим к общему знаменателю \(x(x-7)\): \[ \frac{2x-2(x-7)}{x(x-7)}=\frac{2x-2x+14}{x(x-7)}=\frac{14}{x(x-7)}. \]

Проверка: при \(x=1\) исходное выражение равно \(-\frac{7}{3}\), и \(\frac{14}{1\cdot(1-7)}=-\frac{7}{3}\). Совпало.

Важно: хотя множитель \(x+7\) сократился, значение \(x=-7\) всё равно недопустимо — при нём исходный знаменатель \(x^{2}-49\) обращается в ноль.