Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту на каком расстоянии от поверхности земли сила тяжести действующая на космонавта будет в четыре раза меньше чем перед…
Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту на каком расстоянии от поверхности земли сила тяжести действующая на космонавта будет в четыре раза меньше чем перед стартом и в девять раз меньше чем перед стартом
Кратко
Если радиус Земли принять \(R \approx 6400\) км, то:
- сила тяжести станет в 4 раза меньше на высоте
\[ h \approx 6400\ \text{км} \] - сила тяжести станет в 9 раз меньше на высоте
\[ h \approx 12800\ \text{км} \]
Это два разных случая: одновременно «в 4 раза» и «в 9 раз» сила быть меньше не может.
Как это получается
Перед стартом космонавт находится у поверхности Земли:
\[ F_0=G\frac{Mm}{R^2} \]
На высоте \(h\) от поверхности расстояние до центра Земли равно \(R+h\), поэтому:
\[ F=G\frac{Mm}{(R+h)^2} \]
Сравним силы:
\[ \frac{F_0}{F}=\frac{(R+h)^2}{R^2} \]
Если сила должна уменьшиться в \(n\) раз, то:
\[ \frac{F_0}{F}=n \]
Значит:
\[ \frac{R+h}{R}=\sqrt{n} \]
\[ h=R(\sqrt{n}-1) \]
Для уменьшения в 4 раза:
\[ h=R(\sqrt{4}-1)=R(2-1)=R \]
\[ h \approx 6400\ \text{км} \]
Для уменьшения в 9 раз:
\[ h=R(\sqrt{9}-1)=R(3-1)=2R \]
\[ h \approx 2\cdot6400=12800\ \text{км} \]
Проверка: на высоте \(R\) расстояние до центра Земли равно \(2R\), а сила притяжения убывает как \(1/r^2\), то есть в \(2^2=4\) раза. На высоте \(2R\) расстояние равно \(3R\), сила меньше в \(3^2=9\) раз.
