Реши правильно и с решениями

Понял, что нужно быстро. Но задания в сообщении нет — я не вижу ни текста, ни картинки. Пришли фото или напиши условие, и я сразу выдам решение по шагам.

Разобрал обе фотографии — это тест «Проверьте себя», 12 заданий. Отмеченные в книге варианты все верные, ниже полные решения с проверкой.

1. \(\frac{x^{2}-100}{x-10}=0\)

Дробь равна нулю, когда числитель нулевой, а знаменатель — нет: \[x^{2}-100=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 10,\qquad x-10\neq 0 \;\Rightarrow\; x\neq 10.\] Корень только \(x=-10\). (То же видно из сокращения: \(\frac{(x-10)(x+10)}{x-10}=x+10=0\).) Ответ: В) \(-10\).

2. \(\frac{x-10}{x^{2}-100}=0\)

Числитель: \(x=10\). Но при \(x=10\) знаменатель \(x^{2}-100=0\) — делить на ноль нельзя, корень не подходит. Ответ: Г) корней нет.

3. Какое равенство верное?

• А) \(10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001\neq -1000\) — неверно.
• Б) \(\left(-1\frac13\right)^{-2}=\left(-\frac43\right)^{-2}=\left(-\frac34\right)^{2}=\frac{9}{16}\neq -\frac{9}{16}\) — неверно (знак).
• В) \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^{3}}=\frac{1}{-8}=-\frac18\) — верно.
• Г) \(\frac{1}{7^{-2}}=7^{2}=49\neq -49\) — неверно.

Ответ: В.

4. Запись 42 000 в стандартном виде

\[42000=4{,}2\cdot 10^{4}\] (запятая сдвинута на 4 знака влево). Ответ: Б) \(4{,}2\cdot 10^{4}\).

5. Число \(6{,}3\cdot 10^{-3}\) десятичной дробью

\[6{,}3\cdot 10^{-3}=6{,}3\cdot 0{,}001=0{,}0063.\] Ответ: В) \(0{,}0063\).

6. \(\frac{1}{25}\) в виде степени с основанием 5

\[\frac{1}{25}=\frac{1}{5^{2}}=5^{-2}.\] Ответ: А) \(5^{-2}\).

7. \((1{,}7\cdot 10^{8})\cdot(6\cdot 10^{-3})\)

Перемножаем числа и степени отдельно: \[1{,}7\cdot 6=10{,}2,\qquad 10^{8}\cdot 10^{-3}=10^{5},\] \[10{,}2\cdot 10^{5}=1{,}02\cdot 10^{6}.\] Ответ: Б) \(1{,}02\cdot 10^{6}\).

8. \(\frac{9^{-2}\cdot 3^{-5}}{81\cdot 27^{-3}}\)

Приводим всё к основанию 3: \[9^{-2}=3^{-4},\quad 81=3^{4},\quad 27^{-3}=3^{-9}.\] Числитель: \(3^{-4}\cdot 3^{-5}=3^{-9}\). Знаменатель: \(3^{4}\cdot 3^{-9}=3^{-5}\). \[\frac{3^{-9}}{3^{-5}}=3^{-9-(-5)}=3^{-4}=\frac{1}{81}.\] Ответ: Б) \(\frac{1}{81}\).

9. Какая функция не является обратной пропорциональностью?

Обратная пропорциональность имеет вид \(y=\frac{k}{x}\).

• А) \(y=\frac{3}{x}\) — да, \(k=3\);
• Б) \(y=-\frac{3}{x}\) — да, \(k=-3\);
• В) \(y=\frac{3}{2x}=\frac{1{,}5}{x}\) — да, \(k=1{,}5\);
• Г) \(y=\frac{3x}{2}\) — линейная функция, а не \(\frac{k}{x}\).

Ответ: Г.

10. График \(y=-\frac{4}{x}\) (рис. 28)

Проверяем знаки: при \(x=2\) получаем \(y=-2\) (IV четверть), при \(x=-2\) получаем \(y=2\) (II четверть). Значит ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях — это график А. (График Б с ветвями в I и III четвертях соответствует \(y=\frac{4}{x}\).) Ответ: А.

11. \(y=\frac{k}{x}\) проходит через \(A(-3;\,0{,}6)\)

Подставляем координаты точки: \[0{,}6=\frac{k}{-3}\;\Rightarrow\; k=0{,}6\cdot(-3)=-1{,}8.\] Ответ: А) \(-1{,}8\).

12. График какой функции — парабола?

Парабола — график квадратичной функции \(y=x^{2}\). \(y=2x\) и \(y=\frac{x}{2}\) — прямые, \(y=\frac{2}{x}\) — гипербола. Ответ: Б) \(y=x^{2}\).

Ключ к тесту: 1 — В, 2 — Г, 3 — В, 4 — Б, 5 — В, 6 — А, 7 — Б, 8 — Б, 9 — Г, 10 — А, 11 — А, 12 — Б.

Если хочешь, могу придумать пару похожих заданий (например, на степени с отрицательным показателем или на обратную пропорциональность), чтобы закрепить.

Ок, давай проще — обычными словами, без заумных формулировок. Правильные ответы те же, я просто объясню каждый по-человечески.

1. \(\frac{x^{2}-100}{x-10}=0\)

Дробь равна нулю, когда сверху ноль. Сверху: \(x^{2}-100=0\), значит \(x=10\) или \(x=-10\). Но если \(x=10\), снизу получится \(0\), а на ноль делить нельзя. Остаётся один ответ: \(x=-10\). В) \(-10\)

2. \(\frac{x-10}{x^{2}-100}=0\)

Сверху ноль при \(x=10\). Но подставляем вниз: \(10^{2}-100=0\) — снова деление на ноль. Такой корень не годится, а других нет. Г) корней нет

Тут весь фокус: в №1 десятка была сверху, а в №2 — снизу. Поэтому ответы разные.

3. Минус в показателе степени значит «перевернуть дробь».

• А) \(10^{-3}=0{,}001\), а не \(-1000\) — неверно.
• Б) \(\left(-1\frac13\right)^{-2}=\left(-\frac34\right)^{2}=\frac{9}{16}\) — знак плюс, а не минус.
• В) \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^{3}}=\frac{1}{-8}=-\frac18\) — верно.
• Г) \(\frac{1}{7^{-2}}=7^{2}=49\), а не \(-49\).

В)

4. \(42000\) — это \(4{,}2\), у которого запятую сдвинули на 4 знака. Сдвиг влево — это \(10^{4}\). Б) \(4{,}2\cdot10^{4}\)

5. \(10^{-3}=0{,}001\). Умножаем: \(6{,}3\cdot0{,}001=0{,}0063\). В) \(0{,}0063\)

6. \(25=5^{2}\), а единица сверху даёт минус в показателе: \(\frac{1}{5^{2}}=5^{-2}\). А) \(5^{-2}\)

7. Считаем отдельно числа и отдельно десятки: \[1{,}7\cdot6=10{,}2,\qquad 10^{8}\cdot10^{-3}=10^{5}.\] Получилось \(10{,}2\cdot10^{5}\). В стандартном виде — запятую на знак влево: \(1{,}02\cdot10^{6}\). Б) \(1{,}02\cdot10^{6}\)

8. Всё превращаем в тройки: \[9^{-2}=3^{-4},\quad 81=3^{4},\quad 27^{-3}=3^{-9}.\] Сверху: \(3^{-4}\cdot3^{-5}=3^{-9}\). Снизу: \(3^{4}\cdot3^{-9}=3^{-5}\). Делим: \(3^{-9}:3^{-5}=3^{-4}=\frac{1}{81}\). Б) \(\frac{1}{81}\)

9. Обратная пропорциональность — это когда \(x\) стоит внизу, в знаменателе: \(y=\frac{k}{x}\).

• А, Б, В — все вида \(\frac{\text{число}}{x}\) (в В просто \(\frac{3}{2x}=\frac{1{,}5}{x}\)).
• Г) \(y=\frac{3x}{2}\) — тут \(x\) сверху, это прямая.

Г)

10. Берём \(y=-\frac{4}{x}\) и подставляем точки:

• \(x=2\) → \(y=-2\), это правая нижняя четверть (IV);
• \(x=-2\) → \(y=2\), это левая верхняя (II).

Такие ветви — на графике А. А график Б (ветви в I и III четвертях) — это \(y=\frac{4}{x}\), там минуса нет. А)

11. Точка \(A(-3;\,0{,}6)\) лежит на графике, значит её координаты подходят: \[0{,}6=\frac{k}{-3}\;\Rightarrow\; k=0{,}6\cdot(-3)=-1{,}8.\] А) \(-1{,}8\)

12. Парабола — это «рогатка», график \(y=x^{2}\). Остальные: \(y=2x\) и \(y=\frac{x}{2}\) — прямые, \(y=\frac{2}{x}\) — гипербола (две ветви). Б) \(y=x^{2}\)

Ключ: 1 — В, 2 — Г, 3 — В, 4 — Б, 5 — В, 6 — А, 7 — Б, 8 — Б, 9 — Г, 10 — А, 11 — А, 12 — Б.

Скажи, какой номер совсем непонятен, — разберу его на пальцах, с маленькими числами вместо страшных.

Хорошо, только пример и решение.

1. \(\frac{x^{2}-100}{x-10}=0\) \[x^{2}-100=0,\quad x\neq10\;\Rightarrow\; x=-10\] В) \(-10\)

2. \(\frac{x-10}{x^{2}-100}=0\) \[x=10,\quad 10^{2}-100=0\;\Rightarrow\; \text{корней нет}\] Г) корней нет

3. \[(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^{3}}=-\frac18\] В) \((-2)^{-3}=-\frac18\)

4. \(42000=4{,}2\cdot10^{4}\) Б) \(4{,}2\cdot10^{4}\)

5. \(6{,}3\cdot10^{-3}=0{,}0063\) В) \(0{,}0063\)

6. \(\frac{1}{25}=\frac{1}{5^{2}}=5^{-2}\) А) \(5^{-2}\)

7. \(1{,}7\cdot6=10{,}2;\; 10^{8}\cdot10^{-3}=10^{5};\; 10{,}2\cdot10^{5}=1{,}02\cdot10^{6}\) Б) \(1{,}02\cdot10^{6}\)

8. \(\frac{3^{-4}\cdot3^{-5}}{3^{4}\cdot3^{-9}}=\frac{3^{-9}}{3^{-5}}=3^{-4}=\frac{1}{81}\) Б) \(\frac{1}{81}\)

9. \(y=\frac{3x}{2}\) — не вид \(\frac{k}{x}\) Г) \(y=\frac{3x}{2}\)

10. \(y=-\frac{4}{x}\): \(x=2\to y=-2\), \(x=-2\to y=2\) — II и IV четверти А) график А

11. \(0{,}6=\frac{k}{-3}\Rightarrow k=-1{,}8\) А) \(-1{,}8\)

12. Парабола — \(y=x^{2}\) Б) \(y=x^{2}\)

Ключ: 1В, 2Г, 3В, 4Б, 5В, 6А, 7Б, 8Б, 9Г, 10А, 11А, 12Б.

Сверил все 12 — ошибок нет, отмеченные в книге варианты совпадают с моими ответами. Коротко было потому, что ты попросил «без объяснений, просто пример и решение». Вот те же задания, но с полными выкладками — без теории, только шаги.

1. \(\frac{x^{2}-100}{x-10}=0\) ОДЗ: \(x\neq10\). \[x^{2}-100=0\;\Rightarrow\; x=10 \text{ или } x=-10;\quad x=10 \text{ не подходит}\] \[x=-10\] В) \(-10\)

2. \(\frac{x-10}{x^{2}-100}=0\) ОДЗ: \(x\neq\pm10\). \[x-10=0\;\Rightarrow\; x=10 \text{ — запрещено ОДЗ}\] Г) корней нет

3. Проверяю каждый вариант: \[\text{А) } 10^{-3}=0{,}001\neq-1000;\qquad \text{Б) } \left(-\tfrac43\right)^{-2}=\left(-\tfrac34\right)^{2}=\tfrac{9}{16}\neq-\tfrac{9}{16};\] \[\text{В) } (-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^{3}}=\frac{1}{-8}=-\frac18\ \checkmark;\qquad \text{Г) } \frac{1}{7^{-2}}=7^{2}=49\neq-49\] В) \((-2)^{-3}=-\frac18\)

4. \[42000=4{,}2\cdot10^{4}\] Б) \(4{,}2\cdot10^{4}\)

5. \[6{,}3\cdot10^{-3}=\frac{6{,}3}{1000}=0{,}0063\] В) \(0{,}0063\)

6. \[\frac{1}{25}=\frac{1}{5^{2}}=5^{-2}\] А) \(5^{-2}\)

7. \[(1{,}7\cdot10^{8})\cdot(6\cdot10^{-3})=(1{,}7\cdot6)\cdot10^{8-3}=10{,}2\cdot10^{5}=1{,}02\cdot10^{6}\] Б) \(1{,}02\cdot10^{6}\)

8. Всё к основанию 3: \[9^{-2}=3^{-4},\quad 81=3^{4},\quad 27^{-3}=3^{-9}\] \[\frac{3^{-4}\cdot3^{-5}}{3^{4}\cdot3^{-9}}=\frac{3^{-4-5}}{3^{4-9}}=\frac{3^{-9}}{3^{-5}}=3^{-9+5}=3^{-4}=\frac{1}{81}\] Б) \(\frac{1}{81}\)

9. Сравниваю с видом \(y=\frac{k}{x}\): \[\text{А) } k=3;\quad \text{Б) } k=-3;\quad \text{В) } y=\frac{3}{2x}=\frac{1{,}5}{x},\ k=1{,}5;\quad \text{Г) } y=\frac{3x}{2}=1{,}5x\] В Г икс сверху, значит это прямая, а не \(\frac{k}{x}\). Г) \(y=\frac{3x}{2}\)

10. Подставляю точки в \(y=-\frac{4}{x}\): \[x=2\;\Rightarrow\; y=-2 \text{ (IV четверть)};\qquad x=-2\;\Rightarrow\; y=2 \text{ (II четверть)}\] Ветви во II и IV четвертях — это график А. А)

11. Точка \(A(-3;\,0{,}6)\): \[0{,}6=\frac{k}{-3}\;\Rightarrow\; k=0{,}6\cdot(-3)=-1{,}8\] А) \(-1{,}8\)

12. \[y=x^{2}\text{ — парабола};\qquad y=2x,\ y=\frac{x}{2}\text{ — прямые};\qquad y=\frac{2}{x}\text{ — гипербола}\] Б) \(y=x^{2}\)

Ключ: 1В, 2Г, 3В, 4Б, 5В, 6А, 7Б, 8Б, 9Г, 10А, 11А, 12Б — всё верно.

Если какой-то шаг всё равно «не читается» — скажи номер, распишу его ещё медленнее.