Два автомобиля приближаются к перекрёстку по взаимно перпендикулярным траекториям с постоянными скоростями `v_1` и `v_2`. В момент времени, когда первый автомобиль достиг…
Два автомобиля приближаются к перекрёстку по взаимно перпендикулярным траекториям с постоянными скоростями `v_1` и `v_2`. В момент времени, когда первый автомобиль достиг перекрёстка, второй находился на расстоянии `l_0` от него. Определите минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения (см. рисунок).
Краткий ответ: \[ d_{\min}=\frac{l_0 v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}. \] Минимум достигается через \[ t_*=\frac{l_0 v_2}{v_1^2+v_2^2} \] после момента, когда первый автомобиль прошёл перекрёсток.
Как получить результат
Поместим перекрёсток в начало координат. В момент \(t=0\) первый автомобиль находится в перекрёстке, а второй — на расстоянии \(l_0\) от него.
Координаты автомобилей: \[ x_1=v_1t,\qquad y_1=0, \] \[ x_2=0,\qquad y_2=l_0-v_2t. \]
Квадрат расстояния между ними: \[ d^2(t)=(v_1t)^2+(l_0-v_2t)^2. \] Раскроем скобки: \[ d^2(t)=(v_1^2+v_2^2)t^2-2l_0v_2t+l_0^2. \]
Это квадратичная функция, её минимум — в вершине параболы: \[ t_*=\frac{l_0v_2}{v_1^2+v_2^2}. \]
Подставляем \(t_*\): \[ d_{\min}^2=\frac{l_0^2v_1^2}{v_1^2+v_2^2}, \] поэтому \[ \boxed{d_{\min}=\frac{l_0v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}}. \]
Проверка: если \(v_2=0\), второй автомобиль стоит на расстоянии \(l_0\), и минимальное расстояние равно \(l_0\) — формула даёт то же. Если \(v_1=0\), первый стоит в перекрёстке, а второй проезжает через него, поэтому минимум равен \(0\).
