1. На рисунке 7 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей D1BC и A1B1C.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 4

1. На рисунке 7 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите прямую пересечения плоскостей $D_1BC$ и $A_1B_1C$.
[Рисунок: куб с вершинами $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$.]

2. Даны точки $B$, $C$ и $D$ такие, что $BC=4$ см, $CD=16$ см, $BD=18$ см. Сколько плоскостей можно провести через точки $B$, $C$ и $D$? Ответ обоснуйте.

3. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$, $O$ и $C$. Докажите, что прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$.

4. Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно граням $SAB$ и $SBC$ пирамиды $SABC$ (рис. 8). Постройте точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $SAC$.
[Рисунок: пирамида $SABC$, точки $M$ и $N$ на гранях $SAB$ и $SBC$.]

5. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ и точки $M$ и $K$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB$ и $CC_1$.

Answer

На фото пять заданий. Решаю их по порядку.

1.
Ответ: $A_1C$.

Плоскости $D_1BC$ и $A_1B_1C$ имеют две общие точки: $C$ и $A_1$.
Почему $A_1$ лежит в плоскости $D_1BC$: в ней есть прямая $BC$, а через $D_1$ проходит $D_1A_1\parallel BC$, значит, $D_1A_1$ лежит в этой плоскости, и $A_1$ принадлежит ей.
Общая прямая двух плоскостей — $A_1C$.

Если в вашем издании вторая плоскость записана как $A_1B_1C_1$, то есть это верхняя грань, то ответ будет $A_1D_1$.

2.
Ответ: одна плоскость.

Проверим, что точки не лежат на одной прямой:
$$
BC+CD=4+16=20>BD=18.
$$
Значит, точки $B,C,D$ неколлинеарны. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.

3.
Нужно доказать, что $BD$ лежит в плоскости $\alpha$.

Так как $O$ — центр вписанной окружности, точка $O$ лежит на биссектрисе $AD$, то есть $A,O,D$ коллинеарны. Плоскость $\alpha$ содержит $A$ и $O$, значит, содержит прямую $AD$, поэтому $D\in\alpha$.
Точка $C\in\alpha$ по условию. Точки $B,D,C$ лежат на одной прямой — стороне $BC$, поэтому $B\in\alpha$.
Следовательно, $B,D\in\alpha$, и вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$.

4.
Построение точки пересечения $MN$ с плоскостью $SAC$:

1. Проведём вспомогательную плоскость через $S,M,N$.

2. В грани $SAB$ продолжим $SM$ до пересечения с $AB$ — получим точку $X$.

3. В грани $SBC$ продолжим $SN$ до пересечения с $BC$ — получим точку $Y$.

4. В основании проведём $XY$; пусть $Z=XY\cap AC$.

5. Тогда $SZ$ — линия пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью $SAC$.

6. Искомая точка:
$$
P=MN\cap SZ.
$$
Она принадлежит и $MN$, и плоскости $SAC$.

5.
Строим сечение куба плоскостью $B_1MK$.

1. В грани $ABB_1A_1$ проводим $B_1M$.

2. В грани $BCC_1B_1$ проводим $B_1K$ и продолжаем до пересечения с прямой $BC$ в точке $E$.

3. В плоскости основания проводим $EM$; пусть $N=EM\cap CD$.

4. Соединяем $M$ с $N$, а $N$ с $K$.

Искомое сечение — четырёхугольник
$$
B_1MNK.
$$