120 Через точку O пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a, проведена прямая OK; 121 В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, BC = 8 см.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
120 Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $a$, проведена прямая $OK$, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины квадрата, если $OK=b$.

121 В треугольнике $ABC$ дано: $\angle C=90^\circ$, $AC=6$ см, $BC=8$ см, $CM$ — медиана. Через вершину $C$ проведена прямая $CK$, перпендикулярная к плоскости треугольника $ABC$, причём $CK=12$ см. Найдите $KM$.

Answer

На фото две задачи — 120 и 121. Решаю обе.

120

$$
KA=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}
$$
где $A$ — любая вершина квадрата.

Почему так. Точка $O$ — центр квадрата, поэтому расстояние от $O$ до вершины равно половине диагонали:
$$
OA=\frac{a\sqrt2}{2}.
$$
Так как $OK$ перпендикулярна плоскости квадрата, то $OK\perp OA$. Значит, треугольник $OKA$ прямоугольный:
$$
KA^2=OK^2+OA^2=b^2+\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2
=b^2+\frac{a^2}{2}.
$$

121

$$
KM=13\text{ см}.
$$

Почему так. Сначала находим гипотенузу:
$$
AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}.
$$
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине:
$$
CM=\frac{AB}{2}=5\text{ см}.
$$
Прямая $CK$ перпендикулярна плоскости треугольника, значит, $CK\perp CM$. Треугольник $KCM$ прямоугольный:
$$
KM=\sqrt{CK^2+CM^2}
=\sqrt{12^2+5^2}
=\sqrt{169}=13\text{ см}.
$$

Проверка: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$.