1) ((2x+3)/(4x²−16)+(2+2x)/(16−16x+4x²)) : ((3−x)/(x−2))²

Короткий ответ: \[ \left(\frac{2x+3}{4x^2-16}+\frac{2+2x}{16-16x+4x^2}\right):\left(\frac{3-x}{x-2}\right)^2 = \frac{4x^2+5x-2}{4(x+2)(3-x)^2}, \] при \(x\ne -2;\ 2;\ 3\).

Как получили

1. Раскладываем знаменатели: \[ 4x^2-16=4(x-2)(x+2), \] \[ 16-16x+4x^2=4(x-2)^2. \]

2. Приводим сумму в скобках к общему знаменателю: \[ \frac{(2x+3)(x-2)+(2+2x)(x+2)}{4(x-2)^2(x+2)}. \] Раскрываем числитель: \[ (2x+3)(x-2)=2x^2-x-6, \] \[ (2+2x)(x+2)=2x^2+6x+4. \] Их сумма: \[ 2x^2-x-6+2x^2+6x+4=4x^2+5x-2. \] Значит, \[ \frac{2x+3}{4x^2-16}+\frac{2+2x}{16-16x+4x^2} = \frac{4x^2+5x-2}{4(x-2)^2(x+2)}. \]

3. Деление на дробь заменяем умножением на обратную: \[ \frac{4x^2+5x-2}{4(x-2)^2(x+2)} \cdot \frac{(x-2)^2}{(3-x)^2}. \] Сокращаем \((x-2)^2\): \[ \frac{4x^2+5x-2}{4(x+2)(3-x)^2}. \]

Проверка

При \(x=0\) исходное выражение даёт \[ \left(\frac{3}{-16}+\frac{2}{16}\right):\left(\frac{3}{-2}\right)^2 =-\frac{1}{16}\cdot\frac{4}{9}=-\frac{1}{36}. \] По итоговой формуле: \[ \frac{-2}{4\cdot 2\cdot 9}=-\frac{1}{36}. \] Сходится.