А ты можешь мой почерк понять?

Почерк разобрал. Задание №5 я читаю так:

\[ \frac{1+\sin\beta}{\cos\beta}-\frac{\cos\beta}{1-\sin\beta}. \]

Ответ: \(0\) при \(\cos\beta\ne0\).

Решение. Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{1+\sin\beta}{\cos\beta}-\frac{\cos\beta}{1-\sin\beta} = \frac{(1+\sin\beta)(1-\sin\beta)-\cos^2\beta}{\cos\beta(1-\sin\beta)}. \]

Раскрываем \((1+\sin\beta)(1-\sin\beta)=1-\sin^2\beta\), а это равно \(\cos^2\beta\):

\[ \frac{\cos^2\beta-\cos^2\beta}{\cos\beta(1-\sin\beta)}=0. \]

Можно и короче: вторая дробь равна первой, потому что

\[ \frac{\cos\beta}{1-\sin\beta} = \frac{\cos\beta(1+\sin\beta)}{(1-\sin\beta)(1+\sin\beta)} = \frac{\cos\beta(1+\sin\beta)}{\cos^2\beta} = \frac{1+\sin\beta}{\cos\beta}. \]

Значит, две одинаковые дроби вычитаются, и получается \(0\).

Проверка на \(\beta=30^\circ\): обе дроби равны \(\sqrt3\), их разность действительно \(0\).

Если во второй дроби внизу стоит не \(1-\sin\beta\), а \(1+\sin\beta\), скажи — там ответ будет \(2\operatorname{tg}\beta\).

Понял, тогда считаем по твоей записи:

\[ \frac{\cos\beta}{1-\sin\beta}-\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta}. \]

Ответ: \(2\operatorname{tg}\beta\) при \(\cos\beta\ne0\).

Решение. Общий знаменатель:

\[ \frac{\cos\beta(1+\sin\beta)-\cos\beta(1-\sin\beta)}{(1-\sin\beta)(1+\sin\beta)}. \]

В числителе раскрываем скобки:

\[ \cos\beta+\cos\beta\sin\beta-\cos\beta+\cos\beta\sin\beta=2\sin\beta\cos\beta. \]

В знаменателе разность квадратов:

\[ (1-\sin\beta)(1+\sin\beta)=1-\sin^2\beta=\cos^2\beta. \]

Получаем:

\[ \frac{2\sin\beta\cos\beta}{\cos^2\beta}=\frac{2\sin\beta}{\cos\beta}=2\operatorname{tg}\beta. \]

Проверка при \(\beta=30^\circ\): первая дробь равна \(\sqrt3\), вторая — \(\frac{\sqrt3}{3}\), их разность \(\frac{2\sqrt3}{3}\), и это действительно \(2\operatorname{tg}30^\circ\).

Условие \(\cos\beta\ne0\) нужно, чтобы дроби существовали: \(\beta\ne\frac{\pi}{2}+\pi k\).