решай
Сверь числа и знаки с фото.
- Тендемени чыгаргыла: а) \(0{,}7x^{4}-x^{3}=0\); б) \(x^{4}-x^{2}=3x^{3}-3x\); в) \(x^{3}-0{,}1x=0{,}3x^{2}\); г) \(0{,}5x^{3}-72x=0\);
Задание 9 — «Тендемени чыгаргыла» (решите уравнение). Главное здесь — разложить на множители и не делить на \(x\), иначе потеряется корень \(x=0\).
Краткий ответ
а) \(x=0\), \(x=\dfrac{10}{7}\);
б) \(x=-1\), \(x=0\), \(x=1\), \(x=3\);
в) \(x=-0{,}2\), \(x=0\), \(x=0{,}5\);
г) \(x=-12\), \(x=0\), \(x=12\).
Общий принцип
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому схема такая:
- переносим всё в левую часть;
- раскладываем её на множители;
- каждый множитель приравниваем к нулю.
а)
\[
0{,}7x^4-x^3=0
\]
Вынесем \(x^3\):
\[
x^3(0{,}7x-1)=0
\]
\[
x^3=0 \quad\text{или}\quad 0{,}7x-1=0
\]
\[
x=0 \quad\text{или}\quad x=\frac{1}{0{,}7}=\frac{10}{7}.
\]
б)
\[
x^4-x^2=3x^3-3x
\]
\[
x^4-3x^3-x^2+3x=0
\]
Группируем:
\[
x^3(x-3)-x(x-3)=0
\]
\[
(x-3)(x^3-x)=0
\]
\[
x(x-3)(x^2-1)=0
\]
\[
x(x-3)(x-1)(x+1)=0.
\]
Отсюда \(x=0\), \(x=3\), \(x=1\), \(x=-1\).
в)
\[
x^3-0{,}1x=0{,}3x^2
\]
\[
x^3-0{,}3x^2-0{,}1x=0
\]
\[
x(x^2-0{,}3x-0{,}1)=0.
\]
Квадратный трёхчлен раскладывается так:
\[
x^2-0{,}3x-0{,}1=(x-0{,}5)(x+0{,}2).
\]
Значит,
\[
x(x-0{,}5)(x+0{,}2)=0,
\]
откуда \(x=0\), \(x=0{,}5\), \(x=-0{,}2\).
г)
\[
0{,}5x^3-72x=0
\]
\[
0{,}5x(x^2-144)=0
\]
\[
x=0 \quad\text{или}\quad x^2=144
\]
\[
x=0,\quad x=12,\quad x=-12.
\]
Проверка
- б) при \(x=3\): \(3^4-3^2=81-9=72\) и \(3\cdot3^3-3\cdot3=81-9=72\);
- в) при \(x=0{,}5\): \(0{,}5^3-0{,}1\cdot0{,}5=0{,}125-0{,}05=0{,}075\) и \(0{,}3\cdot0{,}5^2=0{,}075\);
- г) при \(x=12\): \(0{,}5\cdot12^3-72\cdot12=864-864=0\).
Число корней с учётом кратности совпадает со степенью уравнения: в а) степень 4, но \(x=0\) — корень кратности 3, поэтому различных корней два; в б) четыре различных корня; в в) и г) — по три.
Обсуждение
2 сообщенияКак решать биквадратные уравнения?
Коротко: биквадратное уравнение — это уравнение вида
\[ ax^4+bx^2+c=0 \quad (a\ne 0). \]
Оно решается заменой \(t=x^2\): получается обычное квадратное уравнение относительно \(t\), а потом возвращаемся к \(x\).
Алгоритм
- Сделать замену \(t=x^2\), при этом сразу помнить: \(t\ge 0\), потому что квадрат не бывает отрицательным.
- Решить квадратное уравнение \(at^2+bt+c=0\).
- Оставить только \(t\ge 0\) (отрицательные \(t\) отбрасываем — из них \(x\) не извлечётся).
- Для каждого подходящего \(t\) решить \(x^2=t\), то есть \(x=\pm\sqrt{t}\).
- Записать ответ.
Пример 1
\[ x^4-13x^2+36=0 \]
Замена \(t=x^2\):
\[ t^2-13t+36=0 \]
По теореме Виета \(t_1+t_2=13\), \(t_1t_2=36\), значит \(t=4\) и \(t=9\). Оба неотрицательны:
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2, \qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3. \]
Ответ: \(x=-3,\,-2,\,2,\,3\) — четыре корня.
Пример 2 (когда один корень отбрасываем)
\[ x^4+5x^2-36=0 \]
\[ t^2+5t-36=0 \]
Корни \(t=4\) и \(t=-9\). Значение \(t=-9\) не подходит, так как \(x^2\ge 0\). Остаётся:
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2. \]
Ответ: \(x=-2,\,2\).
Важные тонкости
- Если получилось \(t=0\), то \(x^2=0\), то есть единственный корень \(x=0\) (кратности 2).
- Если оба значения \(t\) отрицательны — действительных корней нет.
- Если уравнение легко группируется, можно обойтись без замены. Например, \[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2). \]
- Максимум корней — четыре, потому что каждое положительное \(t\) даёт два значения \(x\).
Проверка для примера 1 при \(x=2\): \[ 2^4-13\cdot 2^2+36=16-52+36=0. \] Верно.
Хочешь, дам пару уравнений для тренировки — с ответами, чтобы ты сначала решил сам?
