В треугольнике ABC угол B - прямой, BD — высота треугольника, AC = 32 см, AB = 2BD.

Краткий ответ: \(\angle C=60^\circ\) (подходит вариант «60°»), \(AD=24\) см.

Разбор

1. Треугольники \(ABD\) и \(ACB\) подобны: угол \(A\) у них общий, а \(\angle ADB=\angle ABC=90^\circ\). Поэтому соответствующие стороны относятся одинаково: \[ \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AB}. \]

2. Возьмём первое равенство: \[ \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC}. \] Подставим \(AB=2BD\) и \(AC=32\): \[ \frac{2BD}{32}=\frac{BD}{BC}. \] Так как \(BD>0\), сокращаем на \(BD\): \[ \frac{1}{16}=\frac{1}{BC}\quad\Rightarrow\quad BC=16\text{ см}. \]

3. В прямоугольном \(\triangle ABC\) гипотенуза \(AC=32\) см, а катет \(BC=16\) см — ровно половина гипотенузы. Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\). Значит, \[ \angle A=30^\circ,\qquad \angle C=90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]

4. Для \(AD\) используем \(\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\), то есть \[ AD=\frac{AB^2}{AC}. \] Сначала найдём \(AB\) по теореме Пифагора: \[ AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{32^2-16^2}=\sqrt{768}=16\sqrt3\text{ см}. \] Тогда \[ AD=\frac{(16\sqrt3)^2}{32}=\frac{768}{32}=24\text{ см}. \]

Проверка: \(BD=\frac{AB}{2}=8\sqrt3\), \(DC=32-24=8\). Тогда \[ BD^2+DC^2=(8\sqrt3)^2+8^2=192+64=256=16^2=BC^2, \] всё сходится.

В поле для \(AD\) вводим 24.