В выпуклом многоугольнике пять углов по 120°, а остальные по 165°. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Ответ: 9 углов.

Пусть всего в многоугольнике \(n\) углов. Пять углов равны \(120^\circ\), тогда остальных углов \(n-5\), и каждый из них равен \(165^\circ\).

Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника: \[ S=180^\circ(n-2). \]

С другой стороны, по условию: \[ S=5\cdot120^\circ+165^\circ(n-5). \]

Приравниваем: \[ 5\cdot120+165(n-5)=180(n-2). \] \[ 600+165n-825=180n-360. \] \[ 165n-225=180n-360. \] \[ 135=15n. \] \[ n=9. \]

Проверка: \[ 180^\circ(9-2)=1260^\circ, \] \[ 5\cdot120^\circ+4\cdot165^\circ=600^\circ+660^\circ=1260^\circ. \]

Значит, в многоугольнике 9 углов.