Объясняя тему этот задание187

Question

Расшифровка фото нейросетью:
187. а) $a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc$;
б) $\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a} \ge a+b+c$ ($a>0$, $b>0$, $c>0$);
в) $-\sqrt{2} \le a+b \le \sqrt{2}$, если $a^2+b^2=1$;
г) $9a+\frac{4}{a} \ge 12$ ($a>0$);
д) $25a+\frac{4}{a} \ge 20$ ($a>0$.

Answer

Тема: доказательство неравенств — выделение квадрата и неравенство $x+\frac{k^2}{x}\ge 2k$ при $x>0$.

187.
а) $$
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac12\big((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\big)\ge0.
$$

б) По неравенству о средних:
$$
\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a,\quad
\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b,\quad
\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c.
$$
Сложив и разделив на 2, получаем:
$$
\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c.
$$

в) Так как $a^2+b^2=1$, то
$$
(a+b)^2\le2(a^2+b^2)=2,
$$
поэтому
$$
-\sqrt2\le a+b\le\sqrt2.
$$

г) $$
9a+\frac4a\ge2\sqrt{9a\cdot\frac4a}=12.
$$

д) $$
25a+\frac4a\ge2\sqrt{25a\cdot\frac4a}=20.
$$

Объясняя тему этот задание187

Обсуждение