170. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 585 и 360; б) 680 и 612; в) 60, 80 и 48; г) 195, 156 и 260.

На фото несколько номеров — я решил все полностью видимые задания.

170. НОД

а) \(585\) и \(360\)
\[ 585=3^2\cdot5\cdot13,\qquad 360=2^3\cdot3^2\cdot5 \] Общие множители: \(3^2\) и \(5\). \[ \text{НОД}=3^2\cdot5=45 \]

б) \(680\) и \(612\)
\[ 680=2^3\cdot5\cdot17,\qquad 612=2^2\cdot3^2\cdot17 \] \[ \text{НОД}=2^2\cdot17=68 \]

в) \(60,\ 80,\ 48\)
\[ 60=2^2\cdot3\cdot5,\quad 80=2^4\cdot5,\quad 48=2^4\cdot3 \] Общий простой множитель только \(2\), в наименьшей степени — \(2^2\). \[ \text{НОД}=4 \]

г) \(195,\ 156,\ 260\)
\[ 195=3\cdot5\cdot13,\quad 156=2^2\cdot3\cdot13,\quad 260=2^2\cdot5\cdot13 \] \[ \text{НОД}=13 \]

Ответ: а) \(45\); б) \(68\); в) \(4\); г) \(13\).

171. Взаимно простые числа

\[ 864=2^5\cdot3^3,\qquad 875=5^3\cdot7 \]

У чисел \(864\) и \(875\) нет общих простых делителей. Значит, \[ \text{НОД}(864;875)=1, \] поэтому числа взаимно простые.

172. Сравнение дробей

а)
\[ \frac{5}{9}<\frac{7}{9} \] Знаменатели одинаковые, а \(5<7\).

б)
\[ 1\frac{3}{8}>\frac{5}{8} \] Смешанное число \(1\frac{3}{8}\) больше \(1\), а \(\frac{5}{8}\) меньше \(1\).

в)
\[ \frac{14}{5}=2\frac{4}{5} \] Эти числа равны.

Ответ: а) \(<\); б) \(>\); в) \(=\).

157. Разложение на простые множители

а) \[ 875=5^3\cdot7 \] \[ 2376=2^3\cdot3^3\cdot11 \] \[ 5625=3^2\cdot5^4 \]

б) \[ 2025=3^4\cdot5^2 \] \[ 3969=3^4\cdot7^2 \] \[ 13\,125=3\cdot5^4\cdot7 \]

Как рассуждать: раскладываем число, начиная с деления на простые числа \(2,3,5,7,11,\ldots\), пока не получим \(1\). Одинаковые множители записываем степенью. Для НОД берём только общие простые множители с наименьшими показателями.

Проверка: например, \(45\cdot13=585\) и \(45\cdot8=360\), поэтому НОД равен \(45\).