Контрольная работа № 1 по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем»

На фото — вариант 1 контрольной из пяти заданий. Я решил весь вариант.

Краткие ответы

1. \(x<2\) — вариант 2.
2. \((-2;3]\) — вариант 2.
3. а) \((-6;+\infty)\); б) \((-\infty;-7]\); в) \((3;+\infty)\); г) \((-\infty;5]\).
4. а) \([-3;4)\); б) \(\left[\frac{5}{2};3\right)\); в) \((-\infty;3]\).
5. \([\sqrt{3};3\sqrt{2})\).

Как решать

Линейные неравенства преобразуем так же, как уравнения. Главное: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. В системе берём пересечение решений.

1.
\[ 4x-8<0 \Rightarrow 4x<8 \Rightarrow x<2. \]

2.
\[ x+2>0 \Rightarrow x>-2, \] \[ 3x\le 9 \Rightarrow x\le 3. \] Пересечение: \((-2;3]\).

3.
а) \[ 5x-3(x+2)<4x+6 \] \[ 5x-3x-6<4x+6 \] \[ 2x-6<4x+6 \] \[ -12<2x \Rightarrow x>-6. \]

б) \[ 2(3x-1)-5(x+4)\ge 3x-8 \] \[ 6x-2-5x-20\ge 3x-8 \] \[ x-22\ge 3x-8 \] \[ -14\ge 2x \Rightarrow x\le -7. \]

в) умножим на 10: \[ 5(x+3)-2(2x-1)>20 \] \[ 5x+15-4x+2>20 \] \[ x+17>20 \Rightarrow x>3. \]

г) умножим на 12: \[ 3(3x-1)-4(x+2)\le 24-2x \] \[ 9x-3-4x-8\le 24-2x \] \[ 5x-11\le 24-2x \] \[ 7x\le 35 \Rightarrow x\le 5. \]

4.
а) \[ 2x+9>5x-3 \Rightarrow x<4, \] \[ x-4\le 3x+2 \Rightarrow x\ge -3. \] Ответ: \([-3;4)\).

б) \[ \frac{x-1}{3}+2\le x \] Умножим на 3: \[ x-1+6\le 3x \Rightarrow 5\le 2x \Rightarrow x\ge \frac{5}{2}. \] Второе неравенство: \[ 4-x>2x-5 \Rightarrow 9>3x \Rightarrow x<3. \] Ответ: \(\left[\frac{5}{2};3\right)\).

в) \[ 3(x-2)\ge 4x-9 \] \[ 3x-6\ge 4x-9 \Rightarrow x\le 3. \] \[ 2-\frac{x+1}{4}>-1 \] Умножим на 4: \[ 8-(x+1)>-4 \] \[ 7-x>-4 \Rightarrow x<11. \] Общее решение: \((-\infty;3]\).

5.
Здесь \(\sqrt{3}\) и \(\sqrt{2}\) — числовые множители при \(x\).

\[ \sqrt{3}x+1\ge 4 \] \[ \sqrt{3}x\ge 3 \Rightarrow x\ge \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}. \]

\[ 3\sqrt{2}x-7<\sqrt{2}x+5 \] \[ 2\sqrt{2}x<12 \] \[ x<\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}. \]

\[ \frac{x-1}{2}-\frac{x}{3}\le 1 \] Умножим на 6: \[ 3(x-1)-2x\le 6 \] \[ x-3\le 6 \Rightarrow x\le 9. \]

Так как \(3\sqrt{2}\approx 4{,}24<9\), последнее условие \(x\le 9\) не сужает ответ. Получаем: \[ [\sqrt{3};3\sqrt{2}). \]

Проверка границ: в задании 5 при \(x=\sqrt{3}\) первое неравенство обращается в равенство, поэтому \(\sqrt{3}\) входит. При \(x=3\sqrt{2}\) второе неравенство обращается в равенство, но оно строгое, поэтому \(3\sqrt{2}\) не входит.