Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это первое задание варианта, а не продолжение: предыдущего решения в чате не было — ты как раз прислал то, что я просил. Разбираю.

Ответ: 2) \(x < 2\).

Решение

\[ 4x - 8 < 0 \]

Перенесём \(-8\) вправо с заменой знака:

\[ 4x < 8 \]

Разделим обе части на \(4\). Число положительное, поэтому знак неравенства не меняется:

\[ x < 2 \]

Проверка

• \(x = 0\): \(4 \cdot 0 - 8 = -8 < 0\) — подходит ✔
• \(x = 3\): \(12 - 8 = 4 > 0\) — не подходит ✘
• \(x = 2\): \(8 - 8 = 0\), а нужно строго меньше нуля — граница 2 в ответ не входит, поэтому варианты 3) \(x \ge 2\) и 4) \(x \le 2\) неверны.

Запомни принцип: при переносе через знак неравенства меняется только знак слагаемого, а сам знак неравенства меняется лишь при умножении или делении на отрицательное число.

Это продолжение — на фото то же самое задание 1, которое я уже разобрал. Ответ подтверждается: вариант 2) \(x < 2\).

Изображение только уточняет запись вариантов 3) и 4) — там \(\ge\) и \(\le\):

\[ 4x - 8 < 0 \;\Rightarrow\; 4x < 8 \;\Rightarrow\; x < 2 \]

Граница \(2\) не входит (неравенство строгое), значит 3) \(x \ge 2\) и 4) \(x \le 2\) отпадают, а 1) \(x > 2\) даёт положительные значения: при \(x = 3\) получается \(4 > 0\).

Если дальше в варианте есть задание 2 — присылай, продолжим.

Продолжаю тот же вариант — разбираю задания 2–5. Задание 1 уже решено выше (ответ 2).

Задание 2 — ответ 3) \((-2;\,3]\)

\[ \begin{cases}x+2>0\\ 3x\le 9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>-2\\ x\le 3\end{cases} \] Левая граница не входит (строгое \(>\)), правая входит (нестрогое \(\le\)): \((-2;\,3]\).

Задание 3

а) \(5x-3(x+2)<4x+6\) \[ 5x-3x-6<4x+6 \Rightarrow 2x-6<4x+6 \Rightarrow -2x<12 \Rightarrow x>-6 \] Ответ: \((-6;\,+\infty)\).

б) \(2(3x-1)-5(x+4)\ge 3x-8\) \[ 6x-2-5x-20\ge 3x-8 \Rightarrow x-22\ge 3x-8 \Rightarrow -2x\ge 14 \Rightarrow x\le -7 \] Ответ: \((-\infty;\,-7]\). (При делении на \(-2\) знак перевернулся.)

в) \(\dfrac{x+3}{2}-\dfrac{2x-1}{5}>2\) — умножаю на 10: \[ 5(x+3)-2(2x-1)>20 \Rightarrow 5x+15-4x+2>20 \Rightarrow x>3 \] Ответ: \((3;\,+\infty)\).

г) \(\dfrac{3x-1}{4}-\dfrac{x+2}{3}\le 2-\dfrac{x}{6}\) — умножаю на 12: \[ 3(3x-1)-4(x+2)\le 24-2x \Rightarrow 9x-3-4x-8\le 24-2x \] \[ 5x-11\le 24-2x \Rightarrow 7x\le 35 \Rightarrow x\le 5 \] Ответ: \((-\infty;\,5]\).

Задание 4

а) \(\begin{cases}2x+9>5x-3\\ x-4\le 3x+2\end{cases}\)

Из первого: \(12>3x\Rightarrow x<4\). Из второго: \(-6\le 2x\Rightarrow x\ge -3\). Ответ: \([-3;\,4)\).

б) \(\begin{cases}\dfrac{x-1}{3}+2\le x\\ 4-x>2x-5\end{cases}\)

Первое (×3): \(x-1+6\le 3x\Rightarrow 5\le 2x\Rightarrow x\ge 2{,}5\). Второе: \(9>3x\Rightarrow x<3\). Ответ: \([2{,}5;\,3)\).

в) \(\begin{cases}3(x-2)\ge 4x-9\\ 2-\dfrac{x+1}{4}>-1\end{cases}\)

Первое: \(3x-6\ge 4x-9\Rightarrow 3\ge x\), то есть \(x\le 3\). Второе: \(-\dfrac{x+1}{4}>-3\Rightarrow x+1<12\Rightarrow x<11\). Общее: \(x\le 3\). Ответ: \((-\infty;\,3]\).

Задание 5

Здесь \(\sqrt3\) и \(\sqrt2\) — коэффициенты при \(x\) (тема работы — линейные неравенства).

1. \(\sqrt3x+1\ge 4\Rightarrow \sqrt3x\ge 3\Rightarrow x\ge \dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\).
2. \(3\sqrt2x-7<\sqrt2x+5\Rightarrow 2\sqrt2x<12\Rightarrow x<\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\).
3. \(\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{x}{3}\le 1\) (×6): \(3x-3-2x\le 6\Rightarrow x\le 9\).

Сравниваю границы: \(\sqrt3\approx 1{,}73\), \(3\sqrt2\approx 4{,}24<9\), поэтому условие \(x\le 9\) ничего не отсекает.

Ответ: \(\bigl[\sqrt3;\,3\sqrt2\bigr)\).

Проверка для задания 5: \(x=2\) — все три верны; \(x=1\) — первое нарушено (\(\sqrt3+1<4\)); \(x=5\) — второе нарушено (\(3\sqrt2\cdot5\approx 21{,}2\), а \(\sqrt2\cdot5+5\approx 12{,}1\)).