Номер 1025 (а,ж,и)

Краткий ответ

а) \(C=80^\circ,\quad a\approx12{,}31,\quad b\approx9{,}14\).

ж) \(a\approx53{,}84,\quad B\approx36{,}41^\circ,\quad C\approx56{,}59^\circ\).

и) \(A\approx54{,}87^\circ,\quad B\approx84{,}27^\circ,\quad C\approx40{,}86^\circ\).

Длины — в тех же единицах, что в условии; углы округлены до сотых градуса.

Как решать

В треугольнике: \[ A+B+C=180^\circ. \] Теорема синусов: \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. \] Теорема косинусов: \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A. \]

а) Даны два угла и сторона \(c=14\).

Находим третий угол: \[ C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ. \]

По теореме синусов: \[ a=\frac{c\sin A}{\sin C} =\frac{14\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx12{,}31, \] \[ b=\frac{c\sin B}{\sin C} =\frac{14\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9{,}14. \]

ж) Даны \(b=32\), \(c=45\) и угол между ними \(A=87^\circ\).

Сначала теорема косинусов: \[ a^2=32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87^\circ\approx2898{,}27, \] поэтому \[ a\approx53{,}84. \]

Теперь по теореме синусов: \[ \sin B=\frac{b\sin A}{a} =\frac{32\sin87^\circ}{53{,}84}\approx0{,}5936. \] Значит, \(B\approx36{,}41^\circ\). Второй вариант \(180^\circ-36{,}41^\circ=143{,}59^\circ\) невозможен: вместе с \(A=87^\circ\) он уже даст больше \(180^\circ\).

Тогда \[ C=180^\circ-87^\circ-36{,}41^\circ\approx56{,}59^\circ. \]

и) Даны три стороны: \(a=6\), \(b=7{,}3\), \(c=4{,}8\). Здесь удобнее сразу применять теорему косинусов.

\[ \cos A=\frac{(7{,}3)^2+(4{,}8)^2-6^2}{2\cdot7{,}3\cdot4{,}8} \approx0{,}5755, \] \[ A\approx54{,}87^\circ. \]

\[ \cos B=\frac{6^2+(4{,}8)^2-(7{,}3)^2}{2\cdot6\cdot4{,}8} \approx0{,}09983, \] \[ B\approx84{,}27^\circ. \]

Третий угол: \[ C=180^\circ-54{,}87^\circ-84{,}27^\circ\approx40{,}86^\circ. \]

Проверка. Суммы углов во всех пунктах дают \(180^\circ\). Кроме того, против большей стороны лежит больший угол: например, в пункте и \(b=7{,}3\) — наибольшая сторона, и \(B\approx84{,}27^\circ\) — наибольший угол.