как извлечь корень из 111
Если речь о квадратном корне, то точно он не извлекается:
\[ \sqrt{111}\approx 10{,}53565375 \]
Точная запись ответа — \(\sqrt{111}\).
Как это получить:
- Находим ближайшие квадраты:
\[ 10^2=100,\qquad 11^2=121 \]
Значит,
\[ 10<\sqrt{111}<11 \]
- Проверяем, можно ли упростить корень:
\[ 111=3\cdot 37 \]
Множители не образуют полный квадрат, поэтому \(\sqrt{111}\) не упрощается.
- Уточняем значение. Возьмём \(10{,}5\), потому что
\[ 10{,}5^2=110{,}25 \]
Это близко к \(111\). Пусть
\[ \sqrt{111}=10{,}5+d \]
Тогда
\[ (10{,}5+d)^2=110{,}25+21d+d^2=111 \]
то есть
\[ 21d+d^2=0{,}75 \]
При малом \(d\) можно сначала пренебречь \(d^2\):
\[ d\approx \frac{0{,}75}{21}\approx 0{,}035714 \]
Получаем
\[ \sqrt{111}\approx 10{,}535714 \]
- Для более точного значения применяют итерации Ньютона:
\[ x_{\text{нов}}=\frac{x+\frac{111}{x}}{2} \]
После уточнения:
\[ \sqrt{111}\approx 10{,}53565375 \]
Проверка:
\[ 10{,}53565375^2\approx 111 \]
Поэтому окончательно:
\[ \boxed{\sqrt{111}=10{,}53565375\ldots} \]
Обсуждение
4 сообщенияПроще
Коротко:
\[ \sqrt{111}\approx 10{,}54 \]
Точно корень не извлекается, поэтому ответ так и оставляют: \(\sqrt{111}\).
Как прикинуть:
- \(10^2=100\)
- \(11^2=121\)
- \(111\) почти посередине, но чуть ближе к \(100\)
Поэтому \(\sqrt{111}\) чуть больше \(10{,}5\):
\[ 10{,}5^2=110{,}25 \]
До \(111\) не хватает \(0{,}75\), значит корень примерно \(10{,}54\).
Проверка:
\[ 10{,}54^2\approx 111{,}09 \]
Ответ: \(\sqrt{111}\approx 10{,}54\).
Почему 4
Потому что \(10{,}54\) — это округлённый ответ, а не точное значение.
Точнее:
\[ \sqrt{111}=10{,}53565375\ldots \]
Округляем до сотых. Смотрим на цифру после сотых:
\[ 10{,}53\underline{5}65\ldots \]
Сотые — это \(3\), следующая цифра — \(5\). По правилу округления \(3\) увеличивается на \(1\), поэтому получается:
\[ 10{,}53 \rightarrow 10{,}54 \]
Проверка:
\[ 10{,}53^2=110{,}8809 \]
\[ 10{,}54^2=111{,}0916 \]
Настоящий корень находится между ними, но ближе к \(10{,}54\). Поэтому при округлении до сотых пишут \(\sqrt{111}\approx 10{,}54\).
