Дано: Δ ABC, Δ A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Доказать: Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.

Question

реши

Расшифровка фото нейросетью:
Первый признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

а) [Рисунок: красный треугольник ABC — C вверху, A слева, B справа; голубой треугольник A₁B₁C₁ — C₁ слева, B₁ справа вверху, A₁ внизу; на сторонах треугольников нанесены штриховые отметки равных сторон, при вершинах A и A₁ — дуги, отмечающие равные углы]

Дано: Δ ABC, Δ A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
Доказать: Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.

Answer

Краткий ответ: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ — по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ключевые шаги

1. В треугольнике $ABC$ берём две стороны, о которых есть данные: $AB$ и $AC$. Угол между ними — тот, что образован лучами $AB$ и $AC$, то есть $\angle A$ при вершине $A$.

2. В треугольнике $A_1B_1C_1$ такие же элементы: стороны $A_1B_1$, $A_1C_1$ и угол между ними $\angle A_1$.

3. Сверяем с «Дано»:
$AB=A_1B_1$ — первая пара сторон;

$AC=A_1C_1$ — вторая пара сторон;

$\angle A=\angle A_1$ — углы, заключённые между этими сторонами.

4. Все три условия признака выполнены, значит треугольники равны. Соответствие вершин: $A\leftrightarrow A_1,\; B\leftrightarrow B_1,\; C\leftrightarrow C_1$.

Почему признак верен (идея доказательства)

Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$: вершину $A$ совместим с $A_1$, а луч $AB$ направим по лучу $A_1B_1$.

Так как $\angle A=\angle A_1$, луч $AC$ пойдёт по лучу $A_1C_1$;

так как $AB=A_1B_1$, точка $B$ попадёт в $B_1$;

так как $AC=A_1C_1$, точка $C$ попадёт в $C_1$.

Тогда и сторона $BC$ ляжет на $B_1C_1$, то есть треугольники совпадут целиком, а значит, равны.

Проверка и следствия

Из равенства треугольников автоматически следует $BC=B_1C_1$, $\angle B=\angle B_1$, $\angle C=\angle C_1$ — это удобно использовать дальше в задачах.

Частая ошибка: брать угол не между данными сторонами (например, $\angle B$). Первый признак требует именно угол между двумя равными сторонами.