Номер 1025 ( а )

Question

Номер 1025 ( а )

Расшифровка фото нейросетью:
1025 С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если: а) $\angle A=60^\circ$, $\angle B=40^\circ$, $c=14$;

Answer

Краткий ответ:
$$
\angle C=80^\circ,\qquad a=BC\approx12{,}31,\qquad b=AC\approx9{,}14,\qquad c=AB=14.
$$

Решение:

1. Сумма углов треугольника:
$$
\angle C=180^\circ-(60^\circ+40^\circ)=80^\circ.
$$

2. По теореме синусов:
$$
\frac{a}{\sin60^\circ}
=\frac{b}{\sin40^\circ}
=\frac{14}{\sin80^\circ}.
$$

Отсюда:
$$
a=\frac{14\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx12{,}31,
$$
$$
b=\frac{14\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9{,}14.
$$

3. Проверка по теореме косинусов:
$$
b^2=a^2+c^2-2ac\cos B.
$$
При $a\approx12{,}31$, $c=14$:
$$
b^2\approx12{,}31^2+14^2-2\cdot12{,}31\cdot14\cos40^\circ\approx83{,}5,
$$
$$
b\approx\sqrt{83{,}5}\approx9{,}14.
$$

Результат совпадает. В этом пункте основной инструмент — теорема синусов, потому что известны два угла и одна сторона. Теорему косинусов удобно использовать для проверки.