Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение — ты прислал задание, которое я просил. Разбираю.

Ответ (пары)

Дроби \(\frac{8}{9}\) и \(\frac{1}{5}\) из нижнего списка остаются лишними — им пары нет.

Как это делать

1. Найди наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
2. Раздели на него оба числа — дробь не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одно и то же.

Проверка по шагам:

• \(\frac{12}{20}\): НОД(12, 20) = 4 → \(\frac{12:4}{20:4}=\frac{3}{5}\)
• \(\frac{16}{72}\): НОД(16, 72) = 8 → \(\frac{16:8}{72:8}=\frac{2}{9}\)
• \(\frac{80}{100}\): НОД(80, 100) = 20 → \(\frac{80:20}{100:20}=\frac{4}{5}\)
• \(\frac{34}{85}\): НОД(34, 85) = 17 → \(\frac{34:17}{85:17}=\frac{2}{5}\)

Быстрый способ проверки: перемножь крест-накрест — если \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), то \(a\cdot d=b\cdot c\). Например, \(34\cdot5=170\) и \(85\cdot2=170\) — совпало.

На сайте: нажимай на дробь внизу, а потом на пустое поле справа от нужной дроби сверху.

Это продолжение той же работы с дробями — следующий вопрос теста, только теперь не сокращение, а сравнение. Разбираю.

Ответ

1. \(\dfrac{8}{16} < \dfrac{7}{12}\)
2. \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}\)
3. \(\dfrac{4}{5} > \dfrac{8}{11}\)

В жёлтые окошки из выпадающего списка ставим знаки: <**, **=**, **>.

Ключевой приём: умножение крест-накрест

Сравниваем \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) — смотрим на \(a\cdot d\) и \(b\cdot c\):

• если \(a\cdot d < b\cdot c\), то первая дробь меньше;
• если равны — дроби равны;
• если больше — первая дробь больше.

1) \(8\cdot 12 = 96\), \(7\cdot 16 = 112\). Так как \(96 < 112\), получаем \(\frac{8}{16} < \frac{7}{12}\). Быстрая проверка: \(\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\), а \(\frac{7}{12}>\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\).

2) \(2\cdot 15 = 30\), \(6\cdot 5 = 30\) — числа равны, значит дроби равны. Проверка: \(\frac{6}{15}\) сокращаем на 3 и получаем \(\frac{2}{5}\).

3) \(4\cdot 11 = 44\), \(8\cdot 5 = 40\). Так как \(44 > 40\), то \(\frac{4}{5} > \frac{8}{11}\). Проверка через десятичные: \(0{,}8 > 0{,}727\ldots\)

Второй способ — через «недостаток до единицы»

Он удобен, когда обе дроби близки к 1:

• \(\frac{4}{5}\) отстоит от 1 на \(\frac{1}{5}\);
• \(\frac{8}{11}\) отстоит от 1 на \(\frac{3}{11}\).

Так как \(\frac{1}{5} = \frac{11}{55}\), а \(\frac{3}{11} = \frac{15}{55}\), первая дробь «ближе» к единице — значит, она больше.

Это продолжение — следующая задача того же теста (№ 4), только тема теперь НОД и НОК. Разбираю.

Ответ

• НОД(250; 130) = 10
• НОК(250; 130) = 3250

Решение по шагам

1. Раскладываем оба числа на простые множители.

\[250 = 2 \cdot 5^3 \qquad (250 = 2\cdot125)\] \[130 = 2 \cdot 5 \cdot 13 \qquad (130 = 10\cdot13)\]

2. Ищем НОД — по правилу со скрина.

Общие основания у чисел: \(2\) и \(5\). Из каждой пары степеней берём степень с меньшим показателем:

\[2^1 \text{ и } 2^1 \Rightarrow 2^1; \qquad 5^3 \text{ и } 5^1 \Rightarrow 5^1\]

Перемножаем: \(2 \cdot 5 = 10\). Основание \(13\) не берём — оно есть только у 130.

3. Ищем НОК.

Берём все различные основания — \(2, 5, 13\) — и для каждого наибольший показатель:

\[2^1, \quad 5^3, \quad 13^1\]

Перемножаем: \(2 \cdot 125 \cdot 13 = 250 \cdot 13 = 3250\).

Проверка

Работает удобное тождество:

\[\text{НОД}(a;b)\cdot \text{НОК}(a;b) = a\cdot b\]

\[10 \cdot 3250 = 32\,500, \qquad 250 \cdot 130 = 32\,500\]

Совпало, значит ответ верный. Дополнительно: \(3250 : 250 = 13\) и \(3250 : 130 = 25\) — оба делятся нацело, как и должно быть у кратного.

Если раскладывать не хочется — алгоритм Евклида

Для НОД: \(250 = 130\cdot1 + 120\); \(130 = 120\cdot1 + 10\); \(120 = 10\cdot12 + 0\). Последний ненулевой остаток — \(10\). А НОК потом находится по формуле \(\frac{a\cdot b}{\text{НОД}}\): \(\frac{250\cdot130}{10} = 3250\).

В поля вводи: 10 и 3250.

Это продолжение — та же тема (разложение на простые множители), следующая задача теста. Четыре окошка как раз совпадают с ответом.

Ответ

\[1925 = 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\]

В окошки по порядку: 5, 5, 7, 11.

Как разложить

1. 1925 оканчивается на 5 → делится на 5: \[1925 : 5 = 385\]
2. 385 тоже оканчивается на 5 → снова делим на 5: \[385 : 5 = 77\]
3. 77 раскладываем по таблице умножения: \(77 = 7 \cdot 11\), оба множителя простые.

Все множители меньше следующего за ним? Проверяем: \(5 \le 5 < 7 < 11\) — порядок возрастания соблюдён.

Проверка

\[5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 25 \cdot 77 = 1925\]

Совпало с исходным числом, значит разложение верное. И оно единственное: \(1925 = 5^2 \cdot 7 \cdot 11\) — других простых делителей у числа нет.

⚠️ Важно по формату: если в задании сказано «без пробелов и других символов», а вводить нужно в отдельные окошки — в каждое окошко пиши только число, без точек и знаков умножения между ними.

Это продолжение — следующая задача того же теста (№ 6), теперь на движение. Разбираю.

Ответ

\[480 \text{ км}\]

В поле ввода: 480.

Решение по шагам

1. Скорость сближения. Мотоциклисты едут навстречу, поэтому каждый час расстояние между ними уменьшается на сумму их скоростей:

\[84 + 76 = 160 \text{ км/ч}\]

2. Путь за всё время. За 3 часа они вместе «съели» всё расстояние:

\[160 \cdot 3 = 480 \text{ км}\]

Проверка по частям

• Первый проехал \(84 \cdot 3 = 252\) км.
• Второй проехал \(76 \cdot 3 = 228\) км.
• Вместе: \(252 + 228 = 480\) км. ✔

Запомни схему

Для встречного движения всегда: \(S = (v_1 + v_2)\cdot t\), где \(v_1+v_2\) — скорость сближения.

Для противоположного (в разные стороны) — та же формула. А для движения вдогонку скорости вычитают: \(S = (v_1 - v_2)\cdot t\).

Это продолжение — та же серия задач с Фоксфорда, следующая задача на деление с остатком. Разбираю.

Ответ

• Свечей: 7
• Остаток воска: 7 мл

Решение по шагам

1. Сколько свечей «влезает» в воск? Делим воск на расход одной свечи:

\[252 : 35 = 7 \text{ (ост. } 7)\]

Проверим: \(35 \cdot 7 = 245\), а \(252 - 245 = 7\). Целых свечей — ровно 7, на восьмую воска уже не хватит (нужно ещё 35 мл, а есть только 7).

2. Проверяем фитили. Их 8, а свечей получилось 7, значит фитили не ограничивают: \(7 \le 8\). Хватит ещё на одну, но не хватает воска.

3. Остаток. Израсходовали \(7 \cdot 35 = 245\) мл, осталось:

\[252 - 245 = 7 \text{ мл}\]

Главное правило таких задач

Количество изделий всегда округляем вниз до целого — «полсвечки» не считается. Поэтому здесь важен именно остаток от деления, а не привычное округление \(7{,}2 \approx 7\) «по правилам» (при \(7{,}8\) тоже было бы 7, а не 8).

И ещё: в задачах на «хватит ли материала» всегда бери минимум из двух ограничений — воск и фитили. Если бы фитилей было, например, 5, то ответ стал бы 5 свечей, хотя воска хватает на 7.

Это продолжение — следующая задача того же теста (№ 8), тема «Признаки делимости». Разбираю.

Ответ

Верно только третье утверждение — галочку ставим в одном квадратике:

☑ Число делится нацело на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.

Проверка каждого утверждения

1. ✗ Ложь. Чётность определяется последней цифрой, а не суммой цифр. Контрпример: \(30\) — сумма цифр \(3+0=3\), на 2 не делится, но само \(30\) чётное.

2. ✗ Ложь. Считаем сумму цифр: \(2+7=9\) (нули не влияют). \(9\) делится на 9, значит и число делится: \[2\,000\,000\,007 : 9 = 222\,222\,223\] Утверждение говорит «не делится» — значит оно неверно.

3. ✓ Верно. Это точная формулировка признака делимости на 5, причём в обе стороны: если последняя цифра 0 или 5 — число делится; если делится — последняя цифра обязательно 0 или 5.

4. ✗ Ложь. В числе пять девяток и пять троек: \[5\cdot 9 + 5\cdot 3 = 45 + 15 = 60\] \(60\) делится на 3 → и само число делится на 3. Утверждение «не делится» неверно.

5. ✗ Ложь. Признак делимости на 10 — последняя цифра \(0\). Контрпример: \(20\) — сумма первой и последней цифр \(2+0=2\ne10\), но \(20\) делится на 10.

6. ✗ Ложь. На 6 делятся числа, которые делятся и на 2, и на 3. \(7\,611\,821\) оканчивается на 1 — оно нечётное, значит уже не делится на 2 (и на 6 тоже). Для полноты: сумма цифр \(26\) — на 3 тоже не делится.

Совет на будущее

Со словами «тогда и только тогда» проверяй оба направления: правило должно работать и «туда», и «обратно». Если хоть в одну сторону есть контрпример — утверждение ложно.

Это продолжение — девятая задача того же теста «НОК&НОД», тема та же. Разбираю.

Ответ

• Длина ленты: 153 м
• Для решения нужен НОК — отмечаем второй вариант.

В поле ввода: 153.

Почему НОК, а не НОД

Лента должна делиться на 9 и на 17 одновременно, то есть быть общим кратным. А нужна наименьшая длина — значит именно наименьшее общее кратное.

НОД же даёт наоборот наибольший общий делитель — то, на что числа делятся, а не то, что делится на них. Для этой задачи он не подходит.

Вычисление

\[9 = 3^2, \qquad 17 \text{ — простое}\]

Общих множителей у чисел нет, поэтому берём все основания с наибольшими показателями:

\[\text{НОК}(9; 17) = 9 \cdot 17 = 153\]

(Это частный случай правила: НОК взаимно простых чисел равно их произведению.)

Проверка

• \(153 : 9 = 17\) — делится ровно на 17 частей по 9 м;
• \(153 : 17 = 9\) — делится ровно на 9 частей по 17 м.

Остатка нет ни в том, ни в другом случае. Меньше взять нельзя: любое число \(<153\), кратное 9 и 17, должно делиться на их произведение, а такого нет.

Шпаргалка на будущее

Это продолжение — десятая задача того же теста «НОК&НОД». Разбираю.

Ответ

• 27 наборов — в поле ввода: 27
• Для решения нужен НОД — отмечаем первый вариант.

Почему НОД, а не НОК

Наборы должны быть одинаковыми, и все детали нужно израсходовать полностью. Значит, число наборов должно делить нацело и 243, и 81, и 189 — то есть быть общим делителем. А наборов нужно наибольшее количество — поэтому наибольший общий делитель.

НОК здесь не подходит: оно даёт число, которое делится на данные, а нам нужно то, которое делит их.

Вычисление

Раскладываем на простые множители:

\[243 = 3^5, \qquad 81 = 3^4, \qquad 189 = 3^3 \cdot 7\]

У всех трёх чисел общее основание только одно — \(3\). Из степеней берём наименьшую (для НОД):

\[\text{НОД}(243; 81; 189) = 3^3 = 27\]

Семёрка не участвует — она есть только у 189.

Проверка: что окажется в одном наборе

• \(243 : 27 = 9\) кирпичиков;
• \(81 : 27 = 3\) круглых кирпичика с крестовиной;
• \(189 : 27 = 7\) пластин.

Все деления прошли без остатка, значит все детали использованы полностью. Если бы взять 81 набор, то 27 делится на 81 не нацело — лишние детали остались бы.

Признак в условии

Фраза «одинаковые по составу наборы» + «наибольшее количество» + «использовать все детали» — это стандартный маркер НОД. Для НОК звучало бы иначе: «наименьшее количество», «совпадёт снова», «чтобы делилось на…».

Это продолжение — та же контрольная на Фоксфорде, следующая по счёту задача (№ 11), только тема новая: округление. Разбираю.

Ответ

• до десятков: 129980
• до тысяч: 130000

Шаг 1. Переводим в сантиметры

\[1 \text{ м} = 100 \text{ см}\] \[1299 \text{ м} = 1299 \cdot 100 = 129\,900 \text{ см}\] \[129\,900 + 78 = 129\,978 \text{ см}\]

Шаг 2. Округляем до десятков

Смотрим на цифру единиц (последнюю): это \(8\), а \(8 \ge 5\) — значит десятки увеличиваем на 1, а единицы заменяем нулём:

\[\underline{7}8 \Rightarrow 80, \qquad 129\,978 \approx 129\,980\]

Шаг 3. Округляем до тысяч

Смотрим на цифру сотен (первую после тысяч): это \(9\), а \(9 \ge 5\) — значит тысячи увеличиваем на 1:

\[129\,\underline{978} \Rightarrow 130\,000\]

Поясню, почему число «перескочило» разряд: \(129\,978\) стоит ближе к \(130\,000\) (разница 22), чем к \(129\,000\) (разница 978).

Три правила, чтобы не путаться

1. Подчёркиваем разряд, до которого округляем.
2. Смотрим только на одну следующую за ним цифру.
3. Если она \(0,1,2,3,4\) — разряд не меняется; если \(5,6,7,8,9\) — увеличивается на 1. Все цифры после разряда отбрасываем.

⚠️ Частая ошибка: округлять «по цепочке» (сначала до десятков, потом до сотен и т. д.). Так делать нельзя — каждый раз работай с исходным числом \(129\,978\), иначе ответ собьётся.

Это продолжение — следующая задача того же теста на Фоксфорде (№ 12), тема «задачи на работу». Разбираю.

Ответ

\[288 \text{ часов}\]

В поле ввода: 288.

Решение

1. Находим весь объём работы в «человеко-часах». Объём работы строителей измеряется произведением числа рабочих на время:

\[12 \cdot 360 = 4320 \text{ человеко-часов}\]

Именно столько суммарного труда нужно, чтобы построить башню, сколько бы строителей ни работало.

2. Делим на новое число строителей.

\[4320 : 15 = 288 \text{ часов}\]

Проверка через производительность

Пусть один строитель делает \(p\) башни в час. Тогда:

• вся работа: \(12p \cdot 360 = 4320p\);
• с 15 строителями: \(15p \cdot t = 4320p \Rightarrow t = \frac{4320}{15} = 288\).

Проверим обратным счётом: \(15 \cdot 288 = 4320\) ✔

Важно: это обратная пропорциональность

Чем больше строителей, тем меньше времени нужно, поэтому числа не умножаем, а делим. Проверка «на глаз»: строителей стало больше в \(\frac{15}{12}\) раза, значит времени потребуется в столько же раз меньше: \(360 : \frac{15}{12} = 360 \cdot \frac{12}{15} = 288\). Результат меньше 360 — это разумно.

Сравни с прямой пропорциональностью: если бы 15 строителей строили больше башен, время росло бы вместе с объёмом. А здесь объём работы один и тот же — поэтому пропорциональность обратная.

Это продолжение — тринадцатая задача того же теста на Фоксфорде, теперь просто вычисления. Разбираю.

Ответ

\[8510\]

В поле ввода: 8510.

Решение по действиям

\[(159768 : 42 - 2956) \cdot 11 - (6245 - 3791) : 3\]

1. Деление в первой скобке.

\[159768 : 42 = 3804\]

Проверка: \(42 \cdot 3804 = 159600 + 168 = 159768\) ✔

2. Вычитание в первой скобке.

\[3804 - 2956 = 848\]

3. Умножение на 11.

\[848 \cdot 11 = 848 \cdot 10 + 848 = 8480 + 848 = 9328\]

4. Вычитание во второй скобке.

\[6245 - 3791 = 2454\]

5. Деление во второй части.

\[2454 : 3 = 818\]

Проверка: \(3 \cdot 818 = 2454\) ✔

6. Итоговое вычитание.

\[9328 - 818 = 8510\]

Порядок действий — на что смотреть в первую очередь

1. Скобки — сначала всё внутри них.
2. Внутри скобок: сначала \(\cdot\) и \(:\), потом \(+\) и \(-\).
3. Потом умножение и деление вне скобок, и лишь в конце сложение и вычитание.

Здесь вычитание \(9328 - 818\) выполняется последним, потому что справа стоит деление \((6245-3791):3\) — оно привязано к своей скобке, а не ко всему выражению. Частая ошибка — сначала вычесть 11 из чего-нибудь или перепутать, что на что делится.

Проверка «на глаз»

• \(159768 : 42 \approx 3800\), минус \(2956 \approx 2960\) → около \(840\).
• \(840 \cdot 11 \approx 9240\).
• \(6245-3791 \approx 2450\), делим на 3 → около \(817\).
• \(9240 - 817 \approx 8420\) — близко к \(8510\), порядок верный.

Это продолжение — та же контрольная на Фоксфорде, задача про сократимость дробей. Разбираю.

Ответ

Галочки ставим только у двух дробей:

• ☑ \(\dfrac{14}{27}\)
• ☑ \(\dfrac{16}{35}\)

Дроби \(\frac{15}{35}\) и \(\frac{15}{27}\) — сократимые, их не отмечаем.

Как проверять

Дробь несократима, если у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1, то есть \(\text{НОД} = 1\). Быстрее всего — разложить оба числа на простые множители и посмотреть, пересекаются ли они.

1) \(\frac{15}{35}\) — сократимая. \(15 = 3\cdot5\), \(35 = 5\cdot7\). Общий множитель \(5\): \[\frac{15}{35} = \frac{3}{7}\]

2) \(\frac{15}{27}\) — сократимая. \(15 = 3\cdot5\), \(27 = 3^3\). Общий множитель \(3\): \[\frac{15}{27} = \frac{5}{9}\] Здесь легко ошибиться: \(27\) не делится на \(5\), но общий делитель не обязан быть равен числителю — достаточно тройки.

3) \(\frac{14}{27}\) — несократимая. \(14 = 2\cdot7\), \(27 = 3^3\). Общих оснований нет, \(\text{НОД} = 1\). ✔

4) \(\frac{16}{35}\) — несократимая. \(16 = 2^4\), \(35 = 5\cdot7\). Тоже ни одного общего множителя. ✔

Быстрый способ на контрольной

Достаточно проверить числитель на делимость на простые \(2, 3, 5, 7, 11\ldots\) и сразу смотреть, делится ли на них знаменатель:

• \(15\): делится на 3 и 5 → проверяем \(35\) (делится на 5 — сократима!) и \(27\) (делится на 3 — сократима!);
• \(14\): делится на 2 и 7 → \(27\) ни на 2, ни на 7 не делится — всё;
• \(16\): только степень двойки → \(35\) нечётное, значит общих множителей нет.

Ещё признак: если знаменатель — степень тройки (\(27\)), то дробь несократима ровно тогда, когда числитель не делится на 3. \(14\) и \(16\) не делятся — обе несократимы.