321. Дан набор из десяти чисел: 4, 3, 2, 1, 9, 7, 2, 7, 1, 4. Найдите среднее и стандартное отклонение (с точностью до сотых).

Краткий ответ

\[ \bar{x} = 4, \qquad S=\sqrt{7}\approx 2{,}65 \]

Отрезок «среднее ± одно стандартное отклонение»:

\[ [\,4-2{,}65;\; 4+2{,}65\,]=[\,1{,}35;\;6{,}65\,] \]

• б) в отрезок попадают \(2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4\) — пять чисел;
• в) левее левой границы: \(1,\ 1\);
• г) правее правой границы: \(7,\ 7,\ 9\).

Как это получается

1. Среднее арифметическое. Сумма всех десяти чисел: \[ 4+3+2+1+9+7+2+7+1+4=40, \qquad \bar{x}=\frac{40}{10}=4. \]

2. Отклонения от среднего (каждое число минус 4): \[ 0,\ -1,\ -2,\ -3,\ 5,\ 3,\ -2,\ 3,\ -3,\ 0. \] Их сумма всегда равна нулю — это удобная самопроверка.

3. Квадраты отклонений: \[ 0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 25,\ 9,\ 4,\ 9,\ 9,\ 0, \qquad \text{сумма}=70. \]

4. Дисперсия — среднее квадратов отклонений: \[ D=\frac{70}{10}=7. \]

5. Стандартное отклонение: \[ S=\sqrt{D}=\sqrt{7}\approx 2{,}6458\approx 2{,}65. \]

6. Границы отрезка: отступаем от среднего на одно \(S\) влево и вправо: \[ 4-2{,}65=1{,}35, \qquad 4+2{,}65=6{,}65. \]

Смысл: \(S\approx 2{,}65\) — это «типичное» расстояние числа от среднего. В полосу \([1{,}35;6{,}65]\) попадают значения, близкие к среднему, а за границами — нетипично малые или большие. Поэтому и получается:

• б) внутри: \(2,\ 2,\ 3,\ 4,\ 4\);
• в) меньше \(1{,}35\): \(1\) и \(1\);
• г) больше \(6{,}65\): \(7,\ 7\) и \(9\).

Проверка

Все числа учтены: \(5+2+3=10\). Если считать точнее, \(\sqrt{7}=2{,}64575\ldots\), границы \(1{,}354\ldots\) и \(6{,}646\ldots\) — ни \(1\), ни \(7\) в отрезок всё равно не попадают, выводы не меняются.

Небольшое замечание: в школьном курсе дисперсию считают делением на \(n=10\). Если в вашем учебнике делят на \(n-1=9\), получится \(S\approx 2{,}79\), но ответы пунктов б)–г) останутся теми же.