Дано решение примеры

Краткий ответ: \(w \approx 18{,}5\%\). Ниже — то же решение, но разложенное по этапам, чтобы был виден сам принцип.

Идея в одну строку

Массовая доля — это «какая часть раствора состоит из соли»:

\[ w=\frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{соли}}+m_{\text{воды}}}\cdot 100\% \]

Заметь: в знаменателе не масса воды, а масса всего раствора. Это главная ловушка таких задач.

Решение по этапам

Считаем финальную строку:

\[ w=\frac{25}{135}\cdot 100\% \approx 18{,}518\ldots\% \approx 18{,}5\% \]

Ответ: \(18{,}5\).

Почему нельзя считать «по-простому»

Соблазн: сложить проценты \(25\%\) и «долю от добавки». Так делать нельзя — при добавлении воды доля падает, при добавлении соли растёт, и каждый раз проценты считаются от новой массы раствора.

Поэтому в общем виде для любого числа добавок:

\[ w_{\text{итог}}=\frac{\sum m_{\text{соли}}}{\sum m_{\text{соли}}+\sum m_{\text{воды}}}\cdot 100\% \]

То есть отдельно суммируем всю соль, отдельно всю воду — и только в конце делим.

Как проверить себя

1. Доля должна попасть в промежуток между крайними значениями: у нас \(12\% < 18{,}5\% < 25\%\) — значит, порядок верный.
2. Соль не может весить больше раствора: \(25 < 135\) — да.
3. Обратная проверка: \(18{,}5\%\) от \(135\) г — это \(135\cdot 0{,}185 \approx 25\) г соли. Совпало.

Мини-тренировка

К \(50\) г воды добавили \(10\) г соли, затем ещё \(40\) г воды. Найди \(w\) в конце.

Подсказка к ответу: соли \(10\) г, раствора \(50+10+40=100\) г, значит \(w = 10\%\). Если получилось иначе — скорее всего, вода попала в числитель или соль забылась в знаменателе.

Уточни, пожалуйста: чего нет — не получается решить мини-тренировку с водой и солью, или в условии основной задачи не хватает какого-то числа? Напиши, что именно не сходится, и я разберу этот шаг.

Дано: \[ m_1(\text{H}_2\text{O})=45\ \text{г},\quad m_1(\text{соли})=15\ \text{г} \] Добавили: \[ m_{\text{доб}}(\text{H}_2\text{O})=65\ \text{г},\quad m_{\text{доб}}(\text{соли})=10\ \text{г} \] Найти: \(\omega(\text{соли})\) в полученном растворе.

Решение

1. Масса соли после добавления: \[ m(\text{соли})=15+10=25\ \text{г} \]

2. Масса воды после добавления: \[ m(\text{H}_2\text{O})=45+65=110\ \text{г} \]

3. Масса полученного раствора: \[ m(\text{раствора})=25+110=135\ \text{г} \]

4. Массовая доля соли: \[ \omega=\frac{m(\text{соли})}{m(\text{раствора})}\cdot 100\% \] \[ \omega=\frac{25}{135}\cdot 100\%=18{,}518\ldots\% \]

С точностью до десятых: \[ \omega\approx 18{,}5\% \]

Ответ: \(18{,}5\).

Ниже — пять примеров того же типа, от простого к «с подвохом». В каждом сначала смотрю, сколько соли и сколько всего раствора.

Пример 1. Просто растворили соль

Дано: \(20\) г соли и \(80\) г воды. \[ w=\frac{20}{20+80}\cdot 100\%=20\% \] Ответ: \(20\%\).

Пример 2. Разбавили водой

Дано: \(200\) г раствора с \(w=20\%\), долили \(50\) г воды.

Сначала находим соль в исходном растворе: \[ m_{\text{соли}}=200\cdot 0{,}20=40\ \text{г} \] Соль никуда не делась, а раствор стал тяжелее: \[ w=\frac{40}{200+50}\cdot 100\%=\frac{40}{250}\cdot 100\%=16\% \] Ответ: \(16\%\). Вода уменьшает долю.

Пример 3. Слили два раствора

Дано: \(100\) г раствора с \(w=10\%\) и \(200\) г раствора с \(w=25\%\). \[ m_{\text{соли}}=100\cdot 0{,}10+200\cdot 0{,}25=10+50=60\ \text{г} \] \[ m_{\text{раствора}}=100+200=300\ \text{г} \] \[ w=\frac{60}{300}\cdot 100\%=20\% \] Ответ: \(20\%\). Доля всегда между \(10\%\) и \(25\%\) — проверка пройдена.

Пример 4. Досыпали соль

Дано: \(150\) г раствора с \(w=10\%\), добавили \(25\) г соли. \[ m_{\text{соли}}=150\cdot 0{,}10+25=15+25=40\ \text{г} \] \[ m_{\text{раствора}}=150+25=175\ \text{г} \] \[ w=\frac{40}{175}\cdot 100\%\approx 22{,}9\% \] Ответ: \(\approx 22{,}9\%\).

Пример 5. Выпарили воду

Дано: \(200\) г раствора с \(w=15\%\), испарили \(50\) г воды. \[ m_{\text{соли}}=200\cdot 0{,}15=30\ \text{г},\qquad m_{\text{раствора}}=200-50=150\ \text{г} \] \[ w=\frac{30}{150}\cdot 100\%=20\% \] Ответ: \(20\%\). Вода ушла — доля выросла.

Попробуй сам

1. \(30\) г соли и \(120\) г воды.
2. К \(250\) г раствора с \(w=16\%\) долили \(150\) г воды.
3. Слили \(120\) г раствора с \(w=5\%\) и \(80\) г раствора с \(w=30\%\).
4. Из \(300\) г раствора с \(w=12\%\) выпарили \(100\) г воды.
5. К \(180\) г раствора с \(w=20\%\) досыпали \(20\) г соли.

Ответы для проверки: 1) \(20\%\) 2) \(10\%\) 3) \(15\%\) 4) \(18\%\) 5) \(28\%\).

Общее правило во всех пяти случаях одно: отдельно складывай (или вычитай) соль и отдельно массу раствора, а делить и умножать на \(100\%\) — только в самом конце.

Ниже — те же типы задач, но через общие формулы. Обозначения:

• \(m\) — масса соли (растворённого вещества), г;
• \(M\) — масса раствора, г;
• \(w\) — массовая доля, доли единицы (например, \(0{,}20\));
• индекс \(1,2\) — первый и второй растворы, «доб» — добавка.

Базовые формулы

\[ w=\frac{m}{M},\qquad m=w\cdot M,\qquad M=\frac{m}{w} \]

Главная формула «смеси» — соль складывается, раствор складывается:

\[ w_{\text{нов}}=\frac{m_1+m_2+\ldots}{M_1+M_2+\ldots} \]

Формулы по типам задач

1. Растворение соли в воде (воды \(M_{\text{в}}\)): \[ w=\frac{m}{m+M_{\text{в}}} \]

2. Разбавление водой (добавили \(M_{\text{доб}}\)): \[ w_{\text{нов}}=\frac{w_1 M_1}{M_1+M_{\text{доб}}} \]

3. Сливание двух растворов: \[ w_{\text{нов}}=\frac{w_1 M_1+w_2 M_2}{M_1+M_2} \]

4. Добавление сухой соли \(m_{\text{доб}}\): \[ w_{\text{нов}}=\frac{w_1 M_1+m_{\text{доб}}}{M_1+m_{\text{доб}}} \]

5. Выпаривание воды \(M_{\text{исп}}\): \[ w_{\text{нов}}=\frac{w_1 M_1}{M_1-M_{\text{исп}}} \]

Примеры с подстановкой

Пример 1. \(m=20\) г, \(M_{\text{в}}=80\) г: \[ w=\frac{20}{20+80}=0{,}20=20\% \]

Пример 2. \(M_1=200\) г, \(w_1=0{,}20\), \(M_{\text{доб}}=50\) г: \[ w_{\text{нов}}=\frac{0{,}20\cdot 200}{200+50}=\frac{40}{250}=0{,}16=16\% \]

Пример 3. \(M_1=100\) г, \(w_1=0{,}10\), \(M_2=200\) г, \(w_2=0{,}25\): \[ w_{\text{нов}}=\frac{0{,}10\cdot 100+0{,}25\cdot 200}{100+200}=\frac{60}{300}=0{,}20=20\% \]

Пример 4. \(M_1=150\) г, \(w_1=0{,}10\), \(m_{\text{доб}}=25\) г: \[ w_{\text{нов}}=\frac{0{,}10\cdot 150+25}{150+25}=\frac{40}{175}\approx 0{,}229=22{,}9\% \]

Пример 5. \(M_1=200\) г, \(w_1=0{,}15\), \(M_{\text{исп}}=50\) г: \[ w_{\text{нов}}=\frac{0{,}15\cdot 200}{200-50}=\frac{30}{150}=0{,}20=20\% \]

Как выбрать формулу

1. Соль прибыла (досыпали, долили раствор) — добавка идёт в числитель.
2. Соль не менялась (долили воду, выпарили воду) — числитель остаётся \(w_1M_1\), меняется только знаменатель.
3. Раствор стал тяжелее — в знаменателе «\(+\)», стал легче — «\(-\)».
4. Ответ в долях переводи в проценты умножением на \(100\%\).

Во всех формулах \(m=wM\) — это масса соли в исходном растворе, поэтому её всегда считай первым действием.

Задача 24

Дано: \[ m_1(\text{H}_2\text{O})=45\ \text{г},\qquad m_1(\text{соли})=15\ \text{г} \] Добавили: \[ m_{\text{доб}}(\text{H}_2\text{O})=65\ \text{г},\qquad m_{\text{доб}}(\text{соли})=10\ \text{г} \] Найти: \(\omega(\text{соли})\) в полученном растворе, \(\%\).

Формулы

\[ \omega=\frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}}\cdot 100\% \]

\[ m_{\text{соли}}=\sum m_{\text{добавленной соли}},\qquad m_{\text{раствора}}=m_{\text{соли}}+m_{\text{воды}} \]

Вода тоже входит в массу раствора — это главное в задаче.

Решение

1. Вся соль в полученном растворе: \[ m_{\text{соли}}=15+10=25\ \text{г} \]

2. Вся вода в полученном растворе: \[ m_{\text{воды}}=45+65=110\ \text{г} \]

3. Масса полученного раствора: \[ m_{\text{раствора}}=25+110=135\ \text{г} \]

4. Массовая доля соли: \[ \omega=\frac{25}{135}\cdot 100\%=\frac{5}{27}\cdot 100\%\approx 18{,}518\ldots\% \]

Округляем до десятых: \[ \omega\approx 18{,}5\% \]

Ответ: \(18{,}5\).

Проверка: \(18{,}5\%\) от \(135\) г — это \(135\cdot 0{,}185\approx 25\) г соли, то есть ровно столько, сколько её было в растворе. Значит, решение верное.

Рисунок к этой задаче я могу показать только схемой — вот она по шагам.

1. Что происходит с раствором

        БЫЛО                 ДОБАВИЛИ                СТАЛО
  ┌───────────────┐     ┌───────────────┐     ┌───────────────┐
  │  вода   45 г  │     │  вода   65 г  │     │  вода  110 г  │
  │               │  +  │               │  =  │               │
  │  соль   15 г  │     │  соль   10 г  │     │  соль   25 г  │
  │               │     │               │     │               │
  │ раствор 60 г │     │   (добавка)   │     │ раствор 135 г │
  └───────────────┘     └───────────────┘     └───────────────┘

2. Куда что идёт в формуле

             15 + 10  =  25 г   ← вся соль (числитель)
                    │
                    ▼
            ω = ───────────── · 100 %
                    ▲
                    │
             45 + 65  = 110 г   ← вся вода
             25 + 110 = 135 г   ← весь раствор (знаменатель)

3. Доля соли на «полоске» раствора

Раствор 135 г
[=== соль 25 г ===][========= вода 110 г =========]
|----- 18,5 % ----|------------ 81,5 % -----------|

4. Смысл картинки

• Соль — 25 г, вода — 110 г, вместе — 135 г.
• Соль занимает примерно пятую часть раствора, значит \(\omega\approx 18{,}5\%\).
• Проверка по полоске: \(25 : 135 \approx 0{,}185\), то есть чуть меньше \(20\%\) — так и выглядит ответ.

Если нужен рисунок «как в тетради» — например, два стакана со стрелками или столбчатая диаграмма с подписями — скажи, и я распишу его по клеточкам для перерисовывания.

Вот рисунки «как в тетради» — их можно перерисовать по клеточкам.

Рисунок 1. Стаканы: было → добавили → стало

        БЫЛО                      ДОБАВИЛИ                    СТАЛО
   ┌────────────┐              ┌────────────┐             ┌────────────┐
   │            │              │            │             │            │
   │ ~~~~~~~~~~ │              │ ~~~~~~~~~~ │             │ ~~~~~~~~~~ │
   │ ~~~ вода ~~│              │ ~~~ вода ~~│             │ ~~~ вода ~~│
   │ ~~~~45~~~~ │   +          │ ~~~~65~~~~ │   =         │ ~~~110~~~~ │
   │ ~~~~~~~~~~ │              │ ~~~~~~~~~~ │             │ ~~~~~~~~~~ │
   │ ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ │              │ ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒ │             │ ▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ │
   │ ▓ соль 15 ▓│              │ ▒ соль 10 ▒│             │ ▓ соль 25 ▓│
   └────────────┘              └────────────┘             └────────────┘
     60 г                        25 г                      135 г
   (раствор)                   (добавка)                  (раствор)

Рисунок 2. Из чего состоит новый раствор

 ◄──────────────────── раствор 135 г ────────────────────►
 ┌──────────────────────┬─────────────────────────────────┐
 │  соль 25 г (18,5 %)  │      вода 110 г (81,5 %)        │
 └──────────────────────┴─────────────────────────────────┘
 0%                    18,5%                           100%

Рисунок 3. Та же доля «по клеточкам»

Берём полоску в 20 клеток — это весь раствор.

соль ████░░░░░░░░░░░░░░░░   ← 4 клетки из 20 ≈ 20 %
     (25 г — это чуть меньше 20 %, точнее 18,5 %)

Рисунок 4. Схема решения стрелками

 соль 15 г ──┐
             ├──► 25 г ──┐
 соль 10 г ──┘           │
                         ├──► ω = 25 : 135 · 100 % ≈ 18,5 %
 вода 45 г ──┐           │
             ├──► 110 г ─┤
 вода 65 г ──┘           │
                         │
 25 + 110 ───────────────┴──► 135 г

Как перерисовать по клеточкам

1. Стакан — прямоугольник \(4\times6\) клеток, верх открытый.
2. Воду закрась волнистыми линиями, соль — штриховкой.
3. Под каждым стаканом подпиши массу раствора: 60 г, 25 г, 135 г.
4. Справа нарисуй полоску \(20\times1\) клеток и закрась 4 клетки — это и есть \(\approx 18{,}5\%\).

Главное, что показывает рисунок: соль складывается с солью, вода с водой, а делим на всё вместе.