270 Проверь истинность неравенства:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
270 Проверь истинность неравенства: \(\frac{500\,000-23\,946:78-498\,855}{405\cdot8004-3\,212\,197-129\,472:64}<\frac{2}{39}\).
271
- Длина тела у белки в 3 раза, или на 40 см, меньше, чем у сурка. Чему равна длина тела у сурка? А у белки?
- В школьном саду яблонь в 7 раз, или на 240, больше, чем слив. Сколько яблонь и сколько слив в школьном саду?
272 Докажи, что существует такое натуральное число \(x\), что:
- \(38x<1569\);
- \(38x>1569\);
- \((x+1)(x+2)(x+3)=60\);
- \(x(x+1)(x+2)=210\);
- \(3x-1=935\);
- \(5x+x=1308\).
273 Докажи следующие утверждения:
- Существует натуральное решение неравенства \(x<2\).
- Произведение двух натуральных чисел может быть меньше четырёх.
- Иногда сумма цифр двузначного числа больше их произведения.
- Некоторые делители числа 18 являются также делителями числа 15.
- Можно найти квадрат, площадь которого составляет 49 м².
- Числа, кратные 5, не всегда кратны 10.
- Существует число, 1% которого равен 8.
- Некоторые дроби меньше чем \(\frac{1}{5}\).
- Что общего во всех этих высказываниях?
На фото несколько упражнений; я разобрал все полностью видимые — 270–273. Главное для заданий 272–273: чтобы доказать утверждение со словами «существует», «иногда», «некоторые», «можно найти», достаточно привести один пример. Для слов «не всегда» нужен один контрпример.
270. Неравенство верно
\[ \frac{500\,000-23\,946:78-498\,855}{405\cdot8004-3\,212\,197-129\,472:64}<\frac{2}{39} \]
Считаем:
\[ 23\,946:78=307,\qquad 129\,472:64=2\,023 \]
Числитель:
\[ 500\,000-307-498\,855=838 \]
Знаменатель:
\[ 405\cdot8004=3\,241\,620 \]
\[ 3\,241\,620-3\,212\,197-2\,023=27\,400 \]
Получаем:
\[ \frac{838}{27\,400}<\frac{2}{39} \]
Проверяем крест-накрест:
\[ 838\cdot39=32\,682,\qquad 2\cdot27\,400=54\,800 \]
\[ 32\,682<54\,800 \]
Значит, неравенство истинно.
271
1) Белка и сурок.
Пусть длина тела белки — \(x\) см. Тогда сурка — \(3x\) см. Разница \(40\) см:
\[ 3x-x=40 \]
\[ 2x=40,\qquad x=20 \]
Белка — 20 см, сурок — 60 см.
Проверка: \(60\) в \(3\) раза больше \(20\), и \(60-20=40\).
2) Яблони и сливы.
Пусть слив \(p\). Яблонь \(7p\). Разница \(240\):
\[ 7p-p=240 \]
\[ 6p=240,\qquad p=40 \]
Слив — 40, яблонь — 280.
Проверка: \(280\) в \(7\) раз больше \(40\), и \(280-40=240\).
272. Доказываем существование числа \(x\)
Достаточно предъявить подходящее натуральное число.
| Пункт | Ответ | Проверка |
|---|---|---|
| 1) \(38x<1569\) | \(x=41\) | \(38\cdot41=1558<1569\) |
| 2) \(38x>1569\) | \(x=42\) | \(38\cdot42=1596>1569\) |
| 3) \((x+1)(x+2)(x+3)=60\) | \(x=2\) | \(3\cdot4\cdot5=60\) |
| 4) \(x(x+1)(x+2)=210\) | \(x=5\) | \(5\cdot6\cdot7=210\) |
| 5) \(3x-1=935\) | \(x=312\) | \(3\cdot312-1=935\) |
| 6) \(5x+x=1308\) | \(x=218\) | \(6\cdot218=1308\) |
Все найденные \(x\) натуральные, значит, существование доказано.
273. Доказываем утверждения примерами
\(x=1\), потому что \(1<2\) и \(1\) — натуральное число.
\(1\cdot1=1<4\). Значит, произведение двух натуральных чисел может быть меньше четырёх.
Возьмём число \(12\):
\[ 1+2=3>1\cdot2=2 \]
Сумма цифр больше произведения.Число \(3\) делит и \(18\), и \(15\):
\[ 18:3=6,\qquad 15:3=5 \]Квадрат со стороной \(7\) м имеет площадь
\[ 7^2=49\text{ м}^2 \]Число \(5\) кратно \(5\), но не кратно \(10\).
Число \(800\):
\[ 1\%\text{ от }800=8 \]Например,
\[ \frac{1}{6}<\frac{1}{5} \]Все эти высказывания экзистенциальные: в них утверждается, что существует хотя бы один подходящий пример. Поэтому для доказательства достаточно привести один пример; для слов «не всегда» — один контрпример.
