Реши

14.11. Ответы:

1. \(x=-5\) или \(x=4\);
2. \(x=3\) или \(x=7\).

1) \(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=3\)

ОДЗ: \[ 4-x\ge0,\quad x+5\ge0 \quad\Rightarrow\quad -5\le x\le4. \]

Возводим обе части в квадрат: \[ (4-x)+(x+5)+2\sqrt{(4-x)(x+5)}=9. \] \[ 9+2\sqrt{(4-x)(x+5)}=9. \] \[ \sqrt{(4-x)(x+5)}=0. \] Значит, \[ (4-x)(x+5)=0, \] откуда \[ x=4 \quad\text{или}\quad x=-5. \] Оба корня входят в ОДЗ и подходят при проверке.

2) \(\sqrt{5x+1}+\sqrt{7-x}=6\)

ОДЗ: \[ 5x+1\ge0,\quad 7-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad -\frac15\le x\le7. \]

Возводим в квадрат: \[ (5x+1)+(7-x)+2\sqrt{(5x+1)(7-x)}=36. \] \[ 4x+8+2\sqrt{(5x+1)(7-x)}=36. \] \[ 2\sqrt{(5x+1)(7-x)}=28-4x. \] \[ \sqrt{(5x+1)(7-x)}=14-2x. \]

Так как \(x\le7\), правая часть неотрицательна. Снова возводим в квадрат: \[ (5x+1)(7-x)=(14-2x)^2. \] \[ -5x^2+34x+7=4x^2-56x+196. \] \[ 9x^2-90x+189=0. \] \[ x^2-10x+21=0. \] \[ (x-3)(x-7)=0. \]

Получаем: \[ x=3 \quad\text{или}\quad x=7. \]

Оба значения подходят. Поэтому ответ: \[ \boxed{x=3;\ x=7.} \]

Уравнения из 14.12 на фото обрезаны — пришли их полностью, если нужно решить и их.

Ответ (14.13): \[ \boxed{\text{1) }x=-1;\qquad \text{2) }x=6.} \]

1) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}\)

ОДЗ: \[ x\ge -2,\quad x\ge -\frac73,\quad x\le 8 \] то есть \(x\in[-2;8]\).

Возводим обе части в квадрат: \[ (x+2)+(3x+7)+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}=8-x. \] \[ 4x+9+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}=8-x. \] \[ 2\sqrt{(x+2)(3x+7)}=-5x-1. \]

Правая часть должна быть неотрицательной: \[ -5x-1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le -\frac15. \]

Снова возводим в квадрат: \[ 4(x+2)(3x+7)=(5x+1)^2. \] \[ 4(3x^2+13x+14)=25x^2+10x+1, \] \[ 12x^2+52x+56=25x^2+10x+1, \] \[ 13x^2-42x-55=0. \]

Корни: \[ x=-1,\qquad x=\frac{55}{13}. \]

Условию \(x\le -\frac15\) удовлетворяет только \(x=-1\).

Проверка: \[ \sqrt{1}+\sqrt{4}=1+2=3=\sqrt{9}. \]

Значит, \[ \boxed{x=-1.} \]

2) \(\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}\)

ОДЗ: \[ 6x-11\ge0,\quad x-2\ge0,\quad x+3\ge0, \] откуда \[ x\ge2. \]

Перенесём: \[ \sqrt{6x-11}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}. \]

Возводим в квадрат: \[ 6x-11=(x-2)+(x+3)+2\sqrt{(x-2)(x+3)}. \] \[ 6x-11=2x+1+2\sqrt{(x-2)(x+3)}. \] \[ 4x-12=2\sqrt{(x-2)(x+3)}. \] \[ 2x-6=\sqrt{(x-2)(x+3)}. \]

Нужно \(2x-6\ge0\), то есть \(x\ge3\).

Возводим в квадрат: \[ (2x-6)^2=(x-2)(x+3). \] \[ 4x^2-24x+36=x^2+x-6. \] \[ 3x^2-25x+42=0. \]

Корни: \[ x=6,\qquad x=\frac73. \]

Но \(x\ge3\), поэтому остаётся только \(x=6\).

Проверка: \[ \sqrt{36-11}-\sqrt{6-2}=\sqrt{25}-\sqrt4=5-2=3, \] \[ \sqrt{6+3}=\sqrt9=3. \]

Значит, \[ \boxed{x=6.} \]

Итог: в первом уравнении \(x=-1\), во втором \(x=6\).