31 Тип 14 а) Решите уравнение (13 sin²x − 5 sin x)/(13 cos x + 12) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −3π/2].

Краткий ответ

а) \(x=\pi k,\quad x=\arcsin\frac{5}{13}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z\).

б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ \arcsin\frac{5}{13}-2\pi\).

Решение

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ \frac{13\sin^2x-5\sin x}{13\cos x+12}=0 \iff \begin{cases} \sin x(13\sin x-5)=0,\\ 13\cos x+12\ne0. \end{cases} \]

То есть:

1. \(\sin x=0\). Тогда \[ x=\pi k. \] Знаменатель при таких \(x\) не обращается в нуль, поэтому все эти корни подходят.

2. \(\sin x=\frac{5}{13}\). Тогда \[ \cos x=\pm\frac{12}{13}. \] Но \(\cos x=-\frac{12}{13}\) запрещён, потому что тогда \(13\cos x+12=0\). Значит, остаётся только \(\cos x=\frac{12}{13}\). Это даёт серию \[ x=\arcsin\frac{5}{13}+2\pi k. \]

Отбор корней на отрезке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\)

Для \(x=\pi k\):

\[ -3\pi\le \pi k\le -\frac{3\pi}{2} \Rightarrow k=-3,-2. \]

Получаем \(-3\pi\) и \(-2\pi\).

Для \(x=\arcsin\frac{5}{13}+2\pi k\) подходит только \(k=-1\), то есть \[ x=\arcsin\frac{5}{13}-2\pi. \]

Ответ:
а) \(\pi k,\ \arcsin\frac{5}{13}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ \arcsin\frac{5}{13}-2\pi\).

Главное в похожих заданиях: сначала проверяй знаменатель, затем приравнивай числитель к нулю, а при отборе корней подставляй целые \(k\) и проверяй границы отрезка.