Известно что AB перпендикулярна AC AB перпендикулярна AD AC перпендикулярна AD рисунок 9.1 найдите отрезок BC если CD = 2√43 bD = 12 а угол АВД=60
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: точки A, B, C, D; C — сверху, A — в центре, D — справа, B — слева внизу; проведены отрезки AC, AD, AB, BC, CD, BD; у точки A показаны прямые углы между отрезками AB, AC и AD.] Рис. 9.11
\[ BC=10 \]
Ключевая идея. Из условия \(AB\perp AC\), \(AB\perp AD\), \(AC\perp AD\) следует, что треугольники \(ABD\), \(ACD\) и \(ABC\) прямоугольные с прямым углом при \(A\). Поэтому задачу можно разбить на три прямоугольных треугольника.
Рассмотрим \(\triangle ABD\). В нём \(\angle BAD=90^\circ\), \(BD=12\), \(\angle ABD=60^\circ\). Тогда \[ AB=BD\cos60^\circ=12\cdot \frac12=6, \] \[ AD=BD\sin60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3. \]
В прямоугольном \(\triangle ACD\): \[ AC^2=CD^2-AD^2. \] Подставляем: \[ AC^2=(2\sqrt{43})^2-(6\sqrt3)^2=172-108=64, \] значит, \[ AC=8. \]
Теперь в прямоугольном \(\triangle ABC\): \[ BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100, \] \[ BC=10. \]
Проверка: \[ CD=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{8^2+(6\sqrt3)^2} =\sqrt{64+108}=\sqrt{172}=2\sqrt{43}. \] Всё сходится.
Принцип для похожих задач: каждые две перпендикулярные прямые образуют прямоугольный треугольник, поэтому длину неизвестного отрезка ищут последовательно по теореме Пифагора.
Обсуждение
2 сообщенияОткуда мы знаем, что АД рано ВД минут 60?
Скорее всего, вопрос про формулу \[ AD=BD\sin60^\circ. \]
Она следует из того, что в треугольнике \(ABD\) угол при вершине \(A\) прямой: \(AB\perp AD\), значит \(\angle BAD=90^\circ\). Поэтому \(BD\) — гипотенуза.
Дан ещё угол \[ \angle ABD=60^\circ. \] Для этого угла в прямоугольном треугольнике:
- противолежащий катет — это \(AD\);
- прилежащий катет — это \(AB\);
- гипотенуза — \(BD\).
По определению синуса: \[ \sin \angle ABD=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{AD}{BD}. \] Подставляем \(\angle ABD=60^\circ\): \[ \sin60^\circ=\frac{AD}{BD}, \] отсюда \[ AD=BD\sin60^\circ. \]
А для катета \(AB\): \[ \cos60^\circ=\frac{AB}{BD}, \] поэтому \[ AB=BD\cos60^\circ. \]
То есть формулы взялись не «из воздуха», а из определений синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике.
