Задание 40. Найдите на рисунке пары равных треугольников и докажите их равенство.
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Задание 40. Найдите на рисунке пары равных треугольников и докажите их равенство.
[Рисунок: четырёхугольник \(A B D C\) с диагональю \(B C\); отмечены равные углы \(\angle ABC\) и \(\angle DCB\), а также \(\angle ACB\) и \(\angle DBC\).] Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle DCB\). 1. \(BC\) — общая. 2. \(\angle ABC=\angle DCB\) (по условию). 3. \(\angle ACB=\angle DBC\) (по условию). Значит, \(\triangle ABC=\triangle DCB\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).
[Рисунок: треугольник \(K M T\), точка \(F\) на стороне \(M T\), отрезок \(K F\perp M T\); отмечены равные отрезки \(K M\) и \(K T\), равные углы при вершинах \(M\) и \(T\).] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
[Рисунок: треугольник \(D C H\), точка \(P\); проведены отрезки \(D P\), \(C P\), \(P H\); отмечены равные отрезки \(D H\) и \(C H\), равные углы при вершине \(H\); при точке \(P\) отмечен прямой угол.] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
[Рисунок: четырёхугольник \(D E H F\) с диагоналями \(D H\) и \(E F\), пересекающимися в точке \(O\); отмечены равные отрезки \(D E\) и \(F H\), стороны \(D E\) и \(F H\) параллельны.] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
[Рисунок: трапеция \(M N B A\) с диагоналями \(M B\) и \(A N\), пересекающимися в точке \(P\); отмечены равные углы при вершинах \(M\) и \(N\), равные боковые стороны \(M A\) и \(N B\).] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
[Рисунок: четырёхугольник \(R C K P\) с диагональю \(R K\); отмечены прямые углы при вершинах \(C\) и \(P\), равные отрезки \(R C\) и \(R P\).] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
[Рисунок: два прямоугольных треугольника \(P A N\) и \(M C L\) на прямой \(A N C L\); отмечены прямые углы при вершинах \(A\) и \(C\), равные отрезки \(P A\) и \(M C\), равные острые углы при вершинах \(N\) и \(L\).] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
[Рисунок: прямоугольник \(K L P M\) с диагоналями \(K P\) и \(L M\), пересекающимися в точке \(O\); отмечены равные отрезки \(K O\) и \(O P\), \(L O\) и \(O M\).] Рассмотрим \(\triangle\)___ и \(\triangle\)___. 1. ___ 2. ___ 3. ___ Значит, \(\triangle\)___ = \(\triangle\)___ по ___.
Я понял задание: это тренировка на признаки равенства треугольников. Кратко — какие пары и по какому признаку:
- \(\triangle ABC=\triangle DCB\) — по стороне и двум прилежащим углам.
- \(\triangle KMF=\triangle KTF\) — по гипотенузе и острому углу.
- \(\triangle DPH=\triangle CPH\) — по двум сторонам и углу между ними.
- \(\triangle DOE=\triangle HOF\) — по стороне и двум прилежащим углам.
- \(\triangle MNA=\triangle NMB\) — по двум сторонам и углу между ними.
- \(\triangle RCK=\triangle RPK\) — по гипотенузе и катету.
- \(\triangle PAN=\triangle MCL\) — по катету и острому углу.
- \(\triangle KLO=\triangle PMO\) — по двум сторонам и углу между ними.
Ниже — проверка по шагам.
№ 1. На рисунке это уже образец: \[ BC\text{ — общая},\quad \angle ABC=\angle DCB,\quad \angle ACB=\angle DBC. \] Значит, \(\triangle ABC=\triangle DCB\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
№ 2. В прямоугольных \(\triangle KMF\) и \(\triangle KTF\): \[ KM=KT,\quad \angle KMF=\angle KTF,\quad \angle KFM=\angle KFT=90^\circ. \] Гипотенузы \(KM\) и \(KT\) равны, острые углы при \(M\) и \(T\) равны — треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
Если признаки прямоугольных треугольников ещё не проходили, добавь шаг: \(\angle MKF=\angle TKF\), потому что каждый из них дополняет равные углы \(M\) и \(T\) до \(90^\circ\). Тогда сработает второй признак по стороне \(KM=KT\).
№ 3. В \(\triangle DPH\) и \(\triangle CPH\): \[ DH=CH,\quad \angle DHP=\angle CHP,\quad PH\text{ — общая}. \] Угол при \(H\) лежит между стороной \(DH\) и общей стороной \(PH\). Первый признак.
Если на рисунке отмечен прямой угол при \(P\), это не мешает: то же равенство можно доказать по гипотенузе \(DH=CH\) и общему катету \(PH\).
№ 4. В \(\triangle DOE\) и \(\triangle HOF\): \[ DE=FH,\quad \angle ODE=\angle OHF,\quad \angle OED=\angle OFH. \] Углы при \(D\) и \(H\), \(E\) и \(F\) равны как накрест лежащие при \(DE\parallel FH\). Сторона \(DE\) лежит между углами \(D\) и \(E\), сторона \(FH\) — между \(H\) и \(F\). Второй признак.
№ 5. В \(\triangle MNA\) и \(\triangle NMB\): \[ MN\text{ — общая},\quad MA=NB,\quad \angle NMA=\angle MNB. \] Угол при \(M\) лежит между \(MN\) и \(MA\), угол при \(N\) — между \(NM\) и \(NB\). Первый признак. Отсюда \(NA=MB\): диагонали равнобедренной трапеции равны.
№ 6. В \(\triangle RCK\) и \(\triangle RPK\): \[ \angle RCK=\angle RPK=90^\circ,\quad RK\text{ — общая},\quad RC=RP. \] \(RK\) — гипотенуза, \(RC\) и \(RP\) — катеты. Признак: по гипотенузе и катету.
№ 7. В \(\triangle PAN\) и \(\triangle MCL\): \[ \angle PAN=\angle MCL=90^\circ,\quad PA=MC,\quad \angle PNA=\angle MLC. \] Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), поэтому \(\angle APN=\angle CML\). Значит, равны катет \(PA=MC\) и прилежащий к нему острый угол. Признак: по катету и острому углу.
№ 8. В \(\triangle KLO\) и \(\triangle PMO\): \[ KO=OP,\quad LO=OM,\quad \angle KOL=\angle POM. \] Углы при \(O\) вертикальные. Первый признак.
Как рассуждать на похожем задании
- Найди одинаковые метки: штрихи — равные стороны, дуги — равные углы, квадратик — прямой угол.
- Выпиши три пары равных элементов для двух треугольников.
- Посмотри, как они расположены: сторона между двумя углами — 2-й признак; две стороны и угол между ними — 1-й; три стороны — 3-й. Для прямоугольных треугольников — гипотенуза/катет и острый угол.
- Называй треугольники так, чтобы порядок вершин соответствовал равенству. Например, в № 4: \(D\leftrightarrow H\), \(O\leftrightarrow O\), \(E\leftrightarrow F\), поэтому \(\triangle DOE=\triangle HOF\).
Если в каком-то номере метки на фото читаются иначе, напиши номер — пересоберу доказательство под твой рисунок.
