Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Ключевые шаги

Способ 1. Разложение на множители (через теорему Виета).

Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Отсюда

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.

Что запомнить

• Если дискриминант положительный (\(D>0\)) — два разных корня; \(D=0\) — один корень; \(D<0\) — корней нет.
• Виет быстрее, но подбор работает только при целых «удобных» коэффициентах. Дискриминант — универсальный приём, им можно проверять себя.