Вариант 4

Ниже — решения всех заданий варианта 4.

Краткие ответы

1. а) \(\left(-\frac43;2\right)\); б) \(x=8\); в) \((-\infty;0]\cup[7;+\infty)\).
2. а) \((-5;1)\); б) \((-\infty;-2)\cup(6;+\infty)\).
3. \(\left(\frac34;\frac53\right]\).
4. а) \([-2{,}5;2]\); б) \(x\ne -9\), то есть \((-\infty;-9)\cup(-9;+\infty)\).
5. \((-\infty;-4)\cup[4;6)\).

1. Квадратные неравенства

а)
\[ 3x^2-2x-8=0, \] \[ D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=100, \] \[ x_{1,2}=\frac{2\pm10}{6}. \] Корни: \(-4/3\) и \(2\). Парабола направлена ветвями вверх, поэтому выражение меньше нуля между корнями: \[ x\in\left(-\frac43;2\right). \]

б)
\[ x^2-16x+64=(x-8)^2\le 0. \] Квадрат не может быть отрицательным, значит возможен только случай равенства: \[ x=8. \]

в)
\[ 7x-x^2=x(7-x)\le 0. \] Нули: \(0\) и \(7\). Ветви параболы направлены вниз, поэтому выражение неположительно вне промежутка между корнями: \[ x\in(-\infty;0]\cup[7;+\infty). \]

2. Метод интервалов

а)
\[ (x-1)(x+5)<0. \] Нули: \(-5\) и \(1\). Произведение отрицательно между корнями: \[ x\in(-5;1). \]

б)
\[ \frac{2x+4}{x-6}>0. \] Нуль числителя: \(x=-2\), нуль знаменателя: \(x=6\). Обе точки выколоты: при \(x=-2\) дробь равна нулю, а нужна строгая положительность; при \(x=6\) дробь не определена.

Знаки дроби: на \((-\infty;-2)\) — «+», на \((-2;6)\) — «−», на \((6;+\infty)\) — «+». Поэтому: \[ x\in(-\infty;-2)\cup(6;+\infty). \]

3. Система неравенств

\[ \begin{cases} 4x^2-11x+6<0,\\ -0{,}9x\ge -1{,}5. \end{cases} \]

Первое неравенство: \[ 4x^2-11x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac34,\ x=2. \] Ветви вверх, знак «меньше» — между корнями: \[ x\in\left(\frac34;2\right). \]

Второе неравенство: \[ -0{,}9x\ge -1{,}5 \quad\Rightarrow\quad x\le\frac{5}{3}. \] Так как \(\frac34<\frac53<2\), пересечение: \[ x\in\left(\frac34;\frac53\right]. \]

4. Когда выражение имеет смысл

а)
\[ \sqrt{(2-x)(3x+7{,}5)}. \] Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ (2-x)(3x+7{,}5)\ge 0. \] Корни: \(-2{,}5\) и \(2\). Коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому выражение неотрицательно между корнями: \[ x\in[-2{,}5;2]. \]

б)
\[ \frac{1}{\sqrt{x^2+18x+81}}. \] \[ x^2+18x+81=(x+9)^2. \] Под корнем в знаменателе должно быть строго положительное число: \[ (x+9)^2>0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -9. \] То есть: \[ x\in(-\infty;-9)\cup(-9;+\infty). \]

5. Область определения функции

\[ y=\sqrt{\frac{x-4}{24+2x-x^2}}. \] Нужно: \[ \frac{x-4}{24+2x-x^2}\ge0, \] причём знаменатель не равен нулю.

Разложим знаменатель: \[ 24+2x-x^2=(6-x)(x+4). \] Критические точки: \(-4,\ 4,\ 6\).
На промежутках знак дроби:

\[ (-\infty;-4):+,\quad (-4;4):-,\quad (4;6):+,\quad (6;+\infty):-. \]

В точках \(-4\) и \(6\) знаменатель равен нулю, поэтому они не входят. В точке \(4\) числитель равен нулю, подкоренное выражение равно нулю — это допустимо.

Следовательно: \[ x\in(-\infty;-4)\cup[4;6). \]

Проверка границ: в 1б \(x=8\) действительно даёт \(0\le0\); в задании 5 при \(x=4\) под корнем получается \(0\), а при \(x=-4\) и \(x=6\) знаменатель обращается в нуль, поэтому эти точки исключены.

Общий принцип: для квадратного неравенства находят корни и смотрят знак выражения; для дроби отдельно учитывают нули числителя и знаменателя; под корнем чётной степени выражение должно быть неотрицательным, а в знаменателе — строго положительным.