Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: а) \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\); б) \(-\frac{4\pi}{3};\ -\frac{2\pi}{3}\).

а) Решение уравнения

1. Область допустимых значений. В уравнении есть \(\operatorname{ctg}x\), значит \(\sin x\neq 0\), то есть \(x\neq\pi k\).

2. Раскрываем скобки: \[ 2\sin^2 x-3\sin x\cdot\operatorname{ctg}x=3. \] Так как \(\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}\) и \(\sin x\neq 0\), то \(\sin x\cdot\operatorname{ctg}x=\cos x\). Получаем: \[ 2\sin^2 x-3\cos x=3. \]

3. Сводим к одной функции (\(\sin^2 x=1-\cos^2 x\)): \[ 2(1-\cos^2 x)-3\cos x-3=0, \] \[ -2\cos^2 x-3\cos x-1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\cos^2 x+3\cos x+1=0. \]

4. Замена \(t=\cos x\), \(|t|\le 1\): \[ 2t^2+3t+1=0,\quad D=9-8=1,\quad t=\frac{-3\pm 1}{4}, \] \[ t_1=-\frac{1}{2},\qquad t_2=-1. \]

5. Возвращаемся к \(x\): – \(\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) — подходит, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\neq0\); – \(\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi k\), но тогда \(\sin x=0\) — противоречит ОДЗ, корень посторонний.

б) Отбор корней на отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)

Удобно решать двойным неравенством и делить на \(2\pi\) (границы: \(-\frac34\) и \(\frac14\)).

Серия \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\): \[ -\frac34\le\frac13+k\le\frac14 \Rightarrow -\frac{13}{12}\le k\le-\frac{1}{12}, \] целое \(k=-1\), значит \(x=\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}\).

Серия \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\): \[ -\frac34\le-\frac13+k\le\frac14 \Rightarrow -\frac{5}{12}\le k\le\frac{7}{12}, \] целое \(k=0\), значит \(x=-\frac{2\pi}{3}\).

Проверка

Для \(x=-\frac{2\pi}{3}\): \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\), \(\operatorname{ctg}x=\frac{1}{\sqrt3}\), тогда \(2\sin x-3\operatorname{ctg}x=-\sqrt3-\sqrt3=-2\sqrt3\), а \(\sin x(2\sin x-3\operatorname{ctg}x)=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)(-2\sqrt3)=3\) ✓.

Главный приём: \(\sin x\cdot\operatorname{ctg}x\) «сворачивается» в \(\cos x\) — это и позволяет свести уравнение к квадратному относительно \(\cos x\). Без записи ОДЗ легко потерять проверку и оставить лишний корень \(\cos x=-1\).