Вариант 4

Краткие ответы

1. а) \(x\in\left(-\dfrac{4}{3};\,2\right)\); б) \(x=8\); в) \(x\in(-\infty;0]\cup[7;+\infty)\).
2. а) \(x\in(-5;\,1)\); б) \(x\in(-\infty;\,-2)\cup(6;\,+\infty)\).
3. \(x\in\left(\dfrac{3}{4};\,\dfrac{5}{3}\right]\).
4. а) \(x\in[-2{,}5;\,2]\); б) \(x\neq-9\), то есть \((-\infty;-9)\cup(-9;+\infty)\).
5. \(D(y)=(-\infty;\,-4)\cup[4;\,6)\).

Общий принцип

Квадратное неравенство \(ax^2+bx+c \lessgtr 0\): нахожу корни, отмечаю на оси, рисую параболу. При \(a>0\) ветви вверх: знак «+» вне корней, «−» между ними; при \(a<0\) — наоборот. Строгое неравенство — корни выколоты (круглые скобки), нестрогое — включены (квадратные).

Дробь — метод интервалов: нули числителя дают точки, где дробь равна нулю (при \(\ge\) и \(\le\) они входят в ответ), нули знаменателя всегда выколоты, ведь на ноль делить нельзя.

Корень: подкоренное выражение \(\ge 0\). Если корень стоит в знаменателе, то подкоренное должно быть строго больше нуля.

1. Квадратные неравенства

а) \(3x^2-2x-8=0\), \(D=4+96=100\), \(x=\dfrac{2\pm10}{6}\), корни \(2\) и \(-\dfrac{4}{3}\). Ветви вверх, нужен знак «<», значит беру промежуток между корнями: \(\left(-\dfrac{4}{3};2\right)\).

б) \(x^2-16x+64=(x-8)^2\le 0\). Квадрат не может быть отрицательным, поэтому остаётся только равенство нулю: \(x=8\) (одна точка, скобки квадратные).

в) \(7x-x^2\le 0 \iff x(7-x)\le 0\). Корни \(0\) и \(7\), ветви вниз, «≤ 0» — вне корней, концы включаю: \((-\infty;0]\cup[7;+\infty)\).

2. Метод интервалов

а) \((x-1)(x+5)<0\): корни \(1\) и \(-5\), ветви вверх, «< 0» между корнями — \((-5;1)\).

б) \(\dfrac{2x+4}{x-6}>0\). Множитель 2 на знак не влияет, беру \(\dfrac{x+2}{x-6}>0\). Точки: \(-2\) (нуль числителя, выколота — неравенство строгое) и \(6\) (нуль знаменателя, выколота всегда). Знаки: на \((-\infty;-2)\) «+», на \((-2;6)\) «−», на \((6;+\infty)\) «+». Ответ: \((-\infty;-2)\cup(6;+\infty)\).

3. Система

Первое: \(4x^2-11x+6=0\), \(D=121-96=25\), \(x=\dfrac{11\pm5}{8}\): корни \(\dfrac{3}{4}\) и \(2\), ветви вверх, «< 0» → \(\dfrac{3}{4}<x<2\).

Второе: \(-0{,}9x\ge-1{,}5 \iff x\le\dfrac{1{,}5}{0{,}9}=\dfrac{5}{3}\) (знак меняется при делении на отрицательное число).

Пересечение: \(\dfrac{3}{4}<x\le\dfrac{5}{3}\), так как \(\dfrac{5}{3}<2\). Ответ: \(\left(\dfrac{3}{4};\dfrac{5}{3}\right]\).

4. Когда выражение имеет смысл

а) \(\sqrt{(2-x)(3x+7{,}5)}\): нужно \((2-x)(3x+7{,}5)\ge0\). Корни \(2\) и \(-2{,}5\), старший коэффициент \(-3<0\) (ветви вниз), «≥ 0» — между корнями, концы включаю: \(-2{,}5\le x\le2\).

б) \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+18x+81}}\): под корнем \((x+9)^2\), то есть корень равен \(|x+9|\). Он стоит в знаменателе, поэтому \(|x+9|\neq0\), откуда \(x\neq-9\). Других ограничений нет: числитель 1 всегда положителен.

5. Область определения

Нужно \(\dfrac{x-4}{24+2x-x^2}\ge0\).

Раскладываю знаменатель: \(24+2x-x^2=-(x^2-2x-24)=-(x-6)(x+4)=(6-x)(x+4)\).

Точки: \(-4\) и \(6\) (нули знаменателя, выколоты), \(4\) (нуль числителя, входит, так как неравенство нестрогое). Знаки дроби: на \((-\infty;-4)\) «+», на \((-4;4)\) «−», на \((4;6)\) «+», на \((6;+\infty)\) «−».

Беру «≥ 0»: \((-\infty;-4)\cup[4;6)\).

Проверка: \(x=4\) → под корнем \(0\), \(y=0\), точка входит; \(x=5\) → \(\dfrac{1}{9}\), \(y=\dfrac{1}{3}\), входит; \(x=0\) → \(-\dfrac{4}{24}<0\), не входит — всё сходится.