Вариант 4

Я решил весь вариант 4.

Краткие ответы

1. а) \(x\in\left(-\frac43;2\right)\); б) \(x=8\); в) \(x\in(-\infty;0]\cup[7;+\infty)\).
2. а) \(x\in(-5;1)\); б) \(x\in(-\infty;-2)\cup(6;+\infty)\).
3. \(x\in\left(\frac34;\frac53\right]\).
4. а) \(x\in[-2{,}5;2]\); б) \(x\in(-\infty;-9)\cup(-9;+\infty)\).
5. \(x\in(-\infty;-4)\cup[4;6)\).

Ключевые шаги

1. Квадратичные неравенства

а) Решаю уравнение: \[ 3x^2-2x-8=0, \] \[ D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100. \] Корни: \[ x_{1,2}=\frac{2\pm10}{6}, \] то есть \(x_1=2\), \(x_2=-\frac43\).

Старший коэффициент \(3>0\), значит ветви параболы направлены вверх. Выражение меньше нуля между корнями: \[ x\in\left(-\frac43;2\right). \]

б) Левая часть — полный квадрат: \[ x^2-16x+64=(x-8)^2. \] Квадрат не может быть отрицательным, поэтому \[ (x-8)^2\le0 \] возможно только при \(x-8=0\). Значит, \(x=8\).

в) \[ 7x-x^2\le0. \] Умножу на \(-1\), поменяв знак неравенства: \[ x^2-7x\ge0, \] \[ x(x-7)\ge0. \] Корни \(0\) и \(7\), произведение неотрицательно вне отрезка между корнями: \[ x\in(-\infty;0]\cup[7;+\infty). \]

2. Метод интервалов

а) \[ (x-1)(x+5)<0. \] Нули: \(x=1\) и \(x=-5\). Произведение отрицательно между корнями: \[ x\in(-5;1). \]

б) \[ \frac{2x+4}{x-6}>0. \] Нуль числителя: \(2x+4=0\), то есть \(x=-2\).
Знаменатель обращается в нуль при \(x=6\), эта точка выколота.

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-2)&(-2;6)&(6;+\infty)\\\hline \frac{2x+4}{x-6}&+&-&+ \end{array} \]

Нужны положительные значения: \[ x\in(-\infty;-2)\cup(6;+\infty). \]

3. Система неравенств

Первое неравенство: \[ 4x^2-11x+6<0. \] Его корни: \[ D=121-96=25, \] \[ x_{1,2}=\frac{11\pm5}{8}. \] Получаем \(x_1=2\), \(x_2=\frac34\). Ветви параболы вверх, значит: \[ \frac34<x<2. \]

Второе неравенство: \[ -0{,}9x\ge-1{,}5. \] Делю на отрицательное число \(-0{,}9\), знак меняется: \[ x\le\frac{1{,}5}{0{,}9}=\frac53. \]

Пересекаю: \[ \left(\frac34;2\right)\cap\left(-\infty;\frac53\right] = \left(\frac34;\frac53\right]. \] Точка \(\frac53\) входит, потому что второе неравенство нестрогое.

4. Когда выражение имеет смысл

а) \[ \sqrt{(2-x)(3x+7{,}5)}. \] Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ (2-x)(3x+7{,}5)\ge0. \] Корни: \(x=2\) и \(x=-2{,}5\). Старший коэффициент отрицательный, поэтому выражение неотрицательно между корнями: \[ x\in[-2{,}5;2]. \]

б) \[ \frac{1}{\sqrt{x^2+18x+81}}. \] Под корнем: \[ x^2+18x+81=(x+9)^2. \] Но корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным: \[ (x+9)^2>0. \] Это верно для всех \(x\), кроме \(x=-9\). При \(x=-9\) знаменатель равен нулю. Значит: \[ x\in(-\infty;-9)\cup(-9;+\infty). \]

5. Область определения функции

\[ y=\sqrt{\frac{x-4}{24+2x-x^2}}. \] Нужно: \[ \frac{x-4}{24+2x-x^2}\ge0, \] причём знаменатель не равен нулю.

Разложу знаменатель: \[ 24+2x-x^2=-(x-6)(x+4). \] Критические точки: \(-4\), \(4\), \(6\).

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-4)&(-4;4)&(4;6)&(6;+\infty)\\\hline \frac{x-4}{24+2x-x^2}&+&-&+&- \end{array} \]

Нужны промежутки со знаком «плюс». Точка \(4\) входит, потому что там числитель равен нулю, а под корнем может быть \(0\). Точки \(-4\) и \(6\) не входят, потому что там знаменатель равен нулю.

Ответ: \[ x\in(-\infty;-4)\cup[4;6). \]

Проверка для №5: при \(x=5\) подкоренное выражение равно \(\frac19>0\), а при \(x=0\) равно \(-\frac16<0\). Это совпадает со знаками в таблице.

Общий принцип: под корнем чётной степени должно быть неотрицательное выражение; если корень в знаменателе — строго положительное; знаменатель обычной дроби не равен нулю.