Почему
Похоже, вопрос оборвался: пришло только слово «Почему», а самого задания или утверждения, к которому оно относится, нет.
Пришли, пожалуйста, полный вопрос или фото задания — например, «Почему при нагревании тела расширяются?» — и я разберу, откуда берётся ответ и как рассуждать в похожих случаях.
Обсуждение
4 сообщенияНа фото три задачи — 8.3, 8.4 и 8.5. Разберу каждую.
Задача 8.3
Ответ: \(PC=2\).
\(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\), поэтому \[ AB=2MN=4. \]
Пусть \(\angle ABC=\beta\), \(\angle BAC=\alpha\). Тогда \[ \angle APC=2\beta,\qquad \angle BPC=2\alpha. \] Точки \(A,P,B\) лежат на одной прямой, значит углы \(\angle APC\) и \(\angle BPC\) смежные: \[ 2\alpha+2\beta=180^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ. \] Следовательно, \(\angle ACB=90^\circ\), то есть треугольник \(ABC\) прямоугольный.
В \(\triangle APC\): \[ \angle CAP=\alpha,\qquad \angle APC=2\beta=180^\circ-2\alpha. \] Тогда \[ \angle ACP=180^\circ-\alpha-(180^\circ-2\alpha)=\alpha. \] Значит, \(\angle CAP=\angle ACP\), поэтому \(AP=PC\). Аналогично получаем \(BP=PC\). Следовательно, \(P\) — середина гипотенузы \(AB\), и \[ PC=\frac{AB}{2}=2. \]
Задача 8.4
Ответ: \(N=98\).
Почему 98 всегда можно получить.
Разделим все числа на чётные и нечётные и поставим сначала все числа одной чётности, затем все числа другой. Внутри каждой группы сумма двух соседних чисел чётна и больше \(2\) (числа попарно различны), значит, она составная. «Испортиться» может только одна сумма — на стыке двух групп. Поэтому из 99 сумм соседних чисел не более одной может быть простой, то есть не менее 98 будут составными.
Почему 99 гарантировать нельзя.
Возьмём одно чётное число \(E\) и 99 различных нечётных чисел вида \(p-E\), где \(p\) — простые числа, большие \(E\). Тогда сумма \(E\) с любым из этих нечётных чисел равна простому \(p\). В любом ряду у \(E\) есть хотя бы один сосед, поэтому хотя бы одна сумма соседних чисел обязательно будет простой. Значит, 99 составных сумм гарантировать невозможно.
Итак, наибольшее возможное значение: \[ N=98. \]
Задача 8.5
Ответ: нельзя.
Пусть \(P_1,P_2,\ldots,P_{10}\) — данные произведения, записанные по кругу. По условию это числа \(1,2,\ldots,10\) в некотором порядке.
Рассмотрим знакочередующуюся сумму: \[ S=P_1-P_2+P_3-P_4+\ldots+P_9-P_{10}. \] Каждое число \(a_i\) входит ровно в четыре произведения \(P_j\), причём коэффициенты при нём чередуются: \[ 1-1+1-1=0. \] Поэтому все \(a_i\) взаимно уничтожаются, и \[ S=0. \]
С другой стороны, \(S\) — это сумма пяти чисел из набора \(1,2,\ldots,10\) со знаком «плюс» и пяти чисел со знаком «минус». Такая сумма имеет ту же чётность, что и \[ 1+2+\ldots+10=55, \] то есть она нечётна. Значит, \(S\neq 0\).
Получили противоречие. Следовательно, выбрать такие числа \(a_1,\ldots,a_{10}\) нельзя.
