а) Решите уравнение 2/tg²x + 7/tg x + 5 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π;4π].
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
33 Тип 14 а) Решите уравнение \(\frac{2}{\mathrm{tg}^{2}x}+\frac{7}{\mathrm{tg}x}+5=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;4\pi]\).
Краткий ответ а) \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=-\mathrm{arctg}\frac{2}{5}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z\). б) \(x=\frac{15\pi}{4};\quad x=4\pi-\mathrm{arctg}\frac{2}{5}\).
Разбор
- ОДЗ: \(\mathrm{tg}x\ne0\), то есть \(x\ne\pi k\). Иначе дроби не определены.
- Обозначим \(t=\mathrm{ctg}x=\frac{1}{\mathrm{tg}x}\). Тогда \(\frac{1}{\mathrm{tg}^2x}=t^2\), а \(\frac{1}{\mathrm{tg}x}=t\). Получаем квадратное уравнение: \[ 2t^2+7t+5=0. \]
- Решаем: \[ D=7^2-4\cdot2\cdot5=9,\qquad t=\frac{-7\pm3}{4}. \] Отсюда \(t_1=-1\), \(t_2=-\frac52\).
- Возвращаемся к \(x\): \[ \mathrm{ctg}x=-1 \Rightarrow \mathrm{tg}x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k, \] \[ \mathrm{ctg}x=-\frac52 \Rightarrow \mathrm{tg}x=-\frac25 \Rightarrow x=-\mathrm{arctg}\frac25+\pi k. \] Это те же серии, что \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\) и \(x=\pi-\mathrm{arctg}\frac25+\pi k\).
- Отбор на \([3\pi;4\pi]\). Для первой серии: \[ 3\pi\le -\frac{\pi}{4}+\pi k\le4\pi \quad\Rightarrow\quad 3{,}25\le k\le4{,}25. \] Подходит \(k=4\), поэтому \(x=4\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}\).
Для второй серии обозначим \(\alpha=\mathrm{arctg}\frac25\), где \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\). Тогда \[ 3\pi\le -\alpha+\pi k\le4\pi \quad\Rightarrow\quad 3+\frac{\alpha}{\pi}\le k\le4+\frac{\alpha}{\pi}. \] Так как \(0<\frac{\alpha}{\pi}<\frac12\), подходит только \(k=4\). Значит, \(x=4\pi-\alpha=4\pi-\mathrm{arctg}\frac25\).
Проверка При \(x=\frac{15\pi}{4}\) имеем \(\mathrm{tg}x=-1\), поэтому \[ \frac{2}{1}+\frac{7}{-1}+5=2-7+5=0. \] При \(x=4\pi-\mathrm{arctg}\frac25\) имеем \(\mathrm{tg}x=-\frac25\), \(\mathrm{tg}^2x=\frac{4}{25}\), поэтому \[ \frac{2}{4/25}+\frac{7}{-2/5}+5 =\frac{25}{2}-\frac{35}{2}+5=0. \] Оба корня лежат в \([3\pi;4\pi]\), так как \(\frac{15\pi}{4}=3{,}75\pi\), а \(4\pi-\mathrm{arctg}\frac25\approx3{,}88\pi\). Я проверил: всё сходится.
Похожие уравнения решаются так же: замена \(t=\mathrm{ctg}x\) (или умножение на \(\mathrm{tg}^2x\)) сводит их к квадратному; после решения не забывай про ОДЗ и отбирай корни двойным неравенством.
Обсуждение
3 сообщенияПокажи отбор корней на окружностиТЛЖС
Краткий ответ а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z\). б) \(x=-\frac{59\pi}{12},\quad x=-\frac{9\pi}{2},\quad x=-\frac{55\pi}{12}\).
Решение
- Так как \(\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x\), то \(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos^2 x\). Уравнение принимает вид \[ 4\cos^2 x=\mathrm{ctg}\,x. \]
- ОДЗ: \(\sin x\ne0\), то есть \(x\ne\pi k\).
- Перенесём всё в одну сторону: \[ 4\cos^2 x-\frac{\cos x}{\sin x}=0 \quad\Rightarrow\quad \cos x\left(4\cos x-\frac{1}{\sin x}\right)=0. \]
- Если \(\cos x=0\), то \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\). При этих \(x\) \(\sin x=\pm1\ne0\), поэтому они подходят.
- Если \(4\cos x=\frac{1}{\sin x}\), то \[ 4\sin x\cos x=1 \quad\Rightarrow\quad 2\sin2x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin2x=\frac12. \] Отсюда \[ 2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \] то есть \[ x=\frac{\pi}{12}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{12}+\pi k. \] ОДЗ для этих серий выполняется.
Отбор корней на окружности Отметим серии на единичной окружности:
- \(\frac{\pi}{2}+\pi k\) — две противоположные точки \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\);
- \(\frac{\pi}{12}+\pi k\) — точки \(\frac{\pi}{12}\) и \(\frac{13\pi}{12}\);
- \(\frac{5\pi}{12}+\pi k\) — точки \(\frac{5\pi}{12}\) и \(\frac{17\pi}{12}\).
Отрезок \([-5\pi;-4\pi]\) сдвигом на \(6\pi\) переходит в \([\pi;2\pi]\). На окружности это нижняя полуокружность от \(\pi\) до \(2\pi\) (концы \(\pi\) и \(2\pi\) выколоты из-за ОДЗ, но среди наших точек их нет).
На этой нижней дуге лежат точки \[ \frac{13\pi}{12},\qquad \frac{17\pi}{12},\qquad \frac{3\pi}{2}. \] Возвращаемся к исходному отрезку, вычитая \(6\pi\): \[ \frac{13\pi}{12}-6\pi=-\frac{59\pi}{12},\qquad \frac{17\pi}{12}-6\pi=-\frac{55\pi}{12},\qquad \frac{3\pi}{2}-6\pi=-\frac{9\pi}{2}. \] Их порядок на отрезке: \[ -\frac{59\pi}{12}\approx-4{,}92\pi,\qquad -\frac{55\pi}{12}\approx-4{,}58\pi,\qquad -\frac{9\pi}{2}=-4{,}5\pi. \]
Проверка Для \(x=-\frac{9\pi}{2}\): \[ \sin\left(-\frac{9\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=\sin(-5\pi)=0, \] \[ \mathrm{ctg}\left(-\frac{9\pi}{2}\right)=\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. \] Равенство выполняется. Остальные корни получаются из той же замены \(\sin2x=\frac12\), поэтому тоже подходят. Я проверил: отбор на окружности даёт ровно три корня.
