Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Как рассуждать:
Уравнение приведённое, поэтому можно разложить левую часть на множители. Нужны два числа, которые в сумме дают \(5\), а в произведении — \(6\). Это \(2\) и \(3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3 \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
4 сообщенияА ты работаешь без инета
Нет, без интернета я работать не смогу — нужен доступ к сети. Если соединение пропадёт, просто подключись снова и продолжим.
А если старший коэффициент не равен 1?
Если \(a\neq 1\), уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), и работают два основных пути.
1. Через дискриминант (универсально):
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
2. Разложением на множители (быстро, если корни целые или простые дроби):
Ищем два числа, произведение которых равно \(a\cdot c\), а сумма — \(b\). Затем разбиваем средний член на две части и группируем.
Пример: \(2x^2-7x+3=0\).
Здесь \(a=2,\ b=-7,\ c=3\), значит \(a\cdot c=6\), а сумма равна \(-7\). Подходят числа \(-6\) и \(-1\):
\[ 2x^2-6x-x+3=0 \]
\[ 2x(x-3)-(x-3)=0 \]
\[ (x-3)(2x-1)=0 \]
\[ x_1=3,\qquad x_2=\frac{1}{2} \]
Проверка дискриминантом:
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm5}{4}\ \Rightarrow\ x_1=3,\ x_2=\frac{1}{2} \]
Результат совпал.
Ещё две вещи, которые меняются при \(a\neq1\):
- Разложение выглядит так: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) — множитель \(a\) перед скобками обязателен.
- Обобщённая теорема Виета: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), \(x_1x_2=\frac{c}{a}\).
Хочешь, дам одно уравнение с \(a\neq1\) для тренировки — решишь, а я проверю?
