Вариант 25 10 Задача 1. Найти предел последовательности: lim n→∞ ((5n+7)/(5n-1))^(n+2).

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 25 10
Задача 1. Найти предел последовательности:
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5n+7}{5n-1}\right)^{n+2}$.
Задача 2. Найти предел функции:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^5-8}-x\sqrt{x(x^2+5)}}{\sqrt{x}}$.
Задача 3. Найти предел функции: $\lim_{x\to1}(1+e^x)^{\frac{\sin\pi x}{1-x}}$.
Задача 4. Найти точки разрыва функции и указать их тип: $y=2^{\frac{1}{x-2}}$.
Задача 5. Найти производную функции: $y=\frac{4^x\arcsin x}{\sqrt[5]{x}-\ln x}$.
Задача 6. Найти производную функции: $y=\frac{\sqrt{\sin(1+x^6)}}{\ln 5x}$.
Задача 7. Найти производную функции: $y=\left(\frac{3x}{x^2+4}\right)^{\cos^3(\sqrt{x})}$.
Задача 8. Найти вторую производную $\frac{d^2y}{dx^2}$ для функции, заданной параметрически: $\begin{cases}x=3\cos t,\; y=3\sin t\end{cases}$.
Задача 9. Найти общее выражение для производной порядка $n$ от функции $y=\frac{1}{x(3-x)}$.
Задача 10. Продифференцировать функцию: $y=\left[(e^{\arcsin 3x})\cdot\sqrt[7]{\mathrm{tg}\,x+x^2-7x}\right]^{\ln^4\cos x}$.

Answer

В задаче 3 нижний предел читаю как $x\to1$. В задачах 7 и 10 применяю логарифмическое дифференцирование; считаю $\ln^4\cos x=(\ln\cos x)^4$.

1. Ответ: $e^{8/5}$.
$$
\ln L=\lim_{n\to\infty}(n+2)\ln\left(1+\frac{8}{5n-1}\right)=\frac85,
$$
так как $\ln(1+t)\sim t$ при $t\to0$.

2. Ответ: $-\frac52$.
При $x\to+\infty$
$$
\sqrt{x^5-8}=x^{5/2}+o(1),
$$
$$
x\sqrt{x(x^2+5)}
=x^{5/2}\sqrt{1+\frac5{x^2}}
=x^{5/2}+\frac52x^{1/2}+o(x^{1/2}).
$$
Поэтому числитель равен $-\frac52x^{1/2}+o(x^{1/2})$, а после деления на $\sqrt{x}=x^{1/2}$ получаем $-\frac52$.

3. Ответ: $(1+e)^\pi$.
$$
\ln L=\lim_{x\to1}\frac{\sin\pi x}{1-x}\ln(1+e^x)
=\ln(1+e)\cdot\pi.
$$
Здесь
$$
\frac{\sin\pi x}{1-x}\to\pi,
\qquad \ln(1+e^x)\to\ln(1+e).
$$

4. Ответ: $x=2$ — точка разрыва второго рода.
$$
\lim_{x\to2^-}2^{\frac1{x-2}}=0,\qquad
\lim_{x\to2^+}2^{\frac1{x-2}}=+\infty.
$$
Других точек разрыва нет.

5. Ответ:
$$
y'=\frac{4^x\left[\left(\ln4\,\arcsin x+\frac1{\sqrt{1-x^2}}\right)\left(x^{1/5}-\ln x\right)-\arcsin x\left(\frac15x^{-4/5}-\frac1x\right)\right]}
{\left(x^{1/5}-\ln x\right)^2}.
$$

6. Ответ:
$$
y'=\frac{3x^5\cos(1+x^6)\ln(5x)-\frac{\sin(1+x^6)}{x}}
{\ln^2(5x)\sqrt{\sin(1+x^6)}}.
$$
Использованы правила производной частного и сложной функции.

7. Ответ:
$$
y'=\left(\frac{3x}{x^2+4}\right)^{\cos^3\sqrt{x}}
\left[
-\frac{3\cos^2\sqrt{x}\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
\ln\left(\frac{3x}{x^2+4}\right)
+\cos^3\sqrt{x}\cdot\frac{4-x^2}{x(x^2+4)}
\right].
$$
Сначала логарифмируем:
$$
\ln y=\cos^3\sqrt{x}\ln\frac{3x}{x^2+4}.
$$

8. Ответ:
$$
\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{3\sin^3t},\qquad t\ne\pi k.
$$
Действительно,
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{3\cos t}{-3\sin t}=-\cot t,
$$
$$
\frac{d^2y}{dx^2}
=\frac{(-\cot t)'_t}{x'_t}
=\frac{\csc^2t}{-3\sin t}
=-\frac{1}{3\sin^3t}.
$$

9. Ответ: при $n=0,1,2,\ldots$
$$
y^{(n)}=\frac{n!}{3}\left(\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}+\frac{1}{(3-x)^{n+1}}\right).
$$
Сначала разложение на простейшие дроби:
$$
\frac{1}{x(3-x)}=\frac13\left(\frac1x+\frac1{3-x}\right),
$$
затем применяем формулы $n$-й производной для $\frac1x$ и $\frac1{3-x}$.

10. Ответ:
$$
y'=y\left[
-4\,\mathrm{tg}\,x\,(\ln\cos x)^3
\left(
\arcsin3x+\frac17\ln(\mathrm{tg}\,x+x^2-7x)
\right)
+(\ln\cos x)^4
\left(
\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}+
\frac{\frac1{\cos^2x}+2x-7}{7(\mathrm{tg}\,x+x^2-7x)}
\right)
\right],
$$
где
$$
y=\left(e^{\arcsin3x}\sqrt[7]{\mathrm{tg}\,x+x^2-7x}\right)^{(\ln\cos x)^4}.
$$
Здесь
$$
\ln y=(\ln\cos x)^4\left(
\arcsin3x+\frac17\ln(\mathrm{tg}\,x+x^2-7x)
\right).
$$