2 Представьте в виде десятичной дроби. 3 Представьте каждую единичную дробь в виде десятичной дроби.

На фото полностью видны задания 2–5. Вот ответы и объяснение.

2. Представить в виде десятичной дроби

\[ \frac{3}{7}=0,(428571) \]

\[ \frac{4}{11}=0,(36) \]

\[ \frac{4}{9}=0,(4) \]

\[ \frac{5}{13}=0,(384615) \]

3. Единичные дроби в виде десятичных

Дробь	Десятичная запись
\(\frac12\)	\(0,5\)
\(\frac13\)	\(0,(3)\)
\(\frac14\)	\(0,25\)
\(\frac15\)	\(0,2\)
\(\frac16\)	\(0,1(6)\)
\(\frac17\)	\(0,(142857)\)
\(\frac18\)	\(0,125\)
\(\frac19\)	\(0,(1)\)
\(\frac1{10}\)	\(0,1\)
\(\frac1{11}\)	\(0,(09)\)
\(\frac1{12}\)	\(0,08(3)\)
\(\frac1{13}\)	\(0,(076923)\)

4. Сравнение пар чисел

В задании, судя по записи, сравниваются:

а)

\[ 0,1(6)=0,1666\ldots \]

\[ 0,(16)=0,1616\ldots \]

Поэтому

\[ 0,1(6)>0,(16). \]

В записи с точками:

\[ 0,1\dot6>0,\dot1\dot6. \]

б)

\[ 0,1(6)=0,1666\ldots \]

\[ \frac16=0,1666\ldots \]

Значит,

\[ 0,1(6)=\frac16. \]

5. Прав ли Бакай?

Нет, не прав.

\[ 0,(9)=0,9999\ldots=1. \]

То есть \(0,(9)\) не меньше \(1\), а равно \(1\).

Почему \(0,(9)=1\)

Обозначим

\[ x=0,9999\ldots \]

Умножим на \(10\):

\[ 10x=9,9999\ldots \]

Вычтем \(x\):

\[ 10x-x=9,9999\ldots-0,9999\ldots \]

\[ 9x=9 \]

\[ x=1. \]

Значит,

\[ 0,(9)=1. \]

Как понять принцип

При делении числителя на знаменатель в столбик рано или поздно остатки начинают повторяться — тогда повторяются и цифры частного. Эти повторяющиеся цифры и есть период, его записывают в скобках.

Например, у \(\frac{4}{11}\):

\[ 4:11=0,363636\ldots=0,(36). \]

Для задания 3 полезно правило: если после сокращения в знаменателе есть только множители \(2\) и \(5\), десятичная дробь конечная. Если есть другие простые множители, дробь бесконечная периодическая.

Проверка сравнения из задания 4:

\[ 0,(16)=\frac{16}{99},\qquad 0,1(6)=\frac16. \]

Сравним:

\[ \frac{16}{99}\quad\text{и}\quad \frac16. \]

\[ 16\cdot 6=96<99, \]

поэтому

\[ \frac{16}{99}<\frac16, \]

то есть \(0,(16)<0,1(6)\). Всё верно.