реши №15.2 (1;4)
Сверь числа и знаки с фото.
15.2. Решите уравнение, используя метод замены переменной:
- \(\sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0\);
- \(\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2,5\).
Кратко: \[ 15.2(1):\ x=-4,\ x=11; \] \[ 15.2(4):\ x=-\frac{11}{10},\ x=\frac{14}{5}. \]
№ 15.2(1)
\[ \sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0 \]
ОДЗ: \(x\ge -5\).
Повторяется выражение \(\sqrt[4]{x+5}\), поэтому заменяем:
\[ t=\sqrt[4]{x+5},\quad t\ge 0. \]
Тогда
\[ \sqrt{x+5}=t^2. \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ t^2-3t+2=0, \]
\[ (t-1)(t-2)=0, \]
\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=2. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ \sqrt[4]{x+5}=1 \Rightarrow x+5=1 \Rightarrow x=-4; \]
\[ \sqrt[4]{x+5}=2 \Rightarrow x+5=16 \Rightarrow x=11. \]
Оба корня входят в ОДЗ. Проверка подтверждает: при \(x=-4\) и \(x=11\) левая часть равна нулю.
Ответ: \(-4;\ 11\).
№ 15.2(4)
\[ \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2{,}5 \]
Подкоренные выражения взаимно обратны. Поэтому можно сделать замену:
\[ t=\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}},\quad t>0. \]
Тогда
\[ \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=\frac1t. \]
Получаем:
\[ t+\frac1t=\frac52. \]
Умножим на \(2t\):
\[ 2t^2-5t+2=0. \]
Корни:
\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=\frac12. \]
Теперь возвращаемся к \(x\).
Если \(t=2\):
\[ \frac{3x+2}{2x-3}=4, \]
\[ 3x+2=8x-12, \]
\[ x=\frac{14}{5}. \]
Если \(t=\frac12\):
\[ \frac{3x+2}{2x-3}=\frac14, \]
\[ 12x+8=2x-3, \]
\[ x=-\frac{11}{10}. \]
Оба значения дают положительное подкоренное отношение, поэтому оба подходят.
Ответ: \(-\frac{11}{10};\ \frac{14}{5}\).
Принцип метода замены: нужно увидеть повторяющуюся конструкцию, обозначить её новой переменной, решить более простое уравнение, а затем вернуться к исходной переменной. После этого обязательно проверяют ОДЗ и возможные посторонние корни.
Обсуждение
4 сообщенияЧерез дискриминант можно решить? Если да, то реши дискриминантом
Да. Но сразу к исходному уравнению дискриминант применить нельзя: оно не квадратное. Сначала делаем замену, получаем квадратное уравнение и решаем его через дискриминант.
№ 15.2(1)
\[ \sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0 \]
Обозначим:
\[ t=\sqrt[4]{x+5},\qquad t\ge 0 \]
Тогда:
\[ \sqrt{x+5}=t^2 \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ t^2-3t+2=0 \]
Через дискриминант:
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1 \]
\[ t_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt1}{2} \]
\[ t_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad t_2=\frac{3+1}{2}=2 \]
Оба значения неотрицательны, значит подходят.
Возвращаемся к \(x\):
\[ \sqrt[4]{x+5}=1 \]
\[ x+5=1 \]
\[ x=-4 \]
И:
\[ \sqrt[4]{x+5}=2 \]
\[ x+5=16 \]
\[ x=11 \]
Ответ: \(-4;\ 11\).
№ 15.2(4)
\[ \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2{,}5 \]
Обозначим:
\[ t=\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}},\qquad t>0 \]
Тогда второе слагаемое:
\[ \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=\frac1t \]
Получаем:
\[ t+\frac1t=\frac52 \]
Умножим обе части на \(2t\):
\[ 2t^2+2=5t \]
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
Теперь решаем через дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \]
\[ t_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt9}{2\cdot2}=\frac{5\pm3}{4} \]
\[ t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2 \]
Оба значения положительны, значит подходят.
Случай 1: \(t=\frac12\)
\[ \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac12 \]
Возводим в квадрат:
\[ \frac{3x+2}{2x-3}=\frac14 \]
\[ 4(3x+2)=2x-3 \]
\[ 12x+8=2x-3 \]
\[ 10x=-11 \]
\[ x=-\frac{11}{10} \]
Случай 2: \(t=2\)
\[ \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2 \]
\[ \frac{3x+2}{2x-3}=4 \]
\[ 3x+2=4(2x-3) \]
\[ 3x+2=8x-12 \]
\[ 14=5x \]
\[ x=\frac{14}{5} \]
Оба значения дают положительное подкоренное выражение, поэтому оба подходят.
Ответ: \(-\frac{11}{10};\ \frac{14}{5}\).
Вывод: дискриминантом решаем вспомогательные квадратные уравнения после замены. В № 15.2(1) получилось \(t^2-3t+2=0\), в № 15.2(4) — \(2t^2-5t+2=0\).
Как в первом получилось -3t
Потому что \(\sqrt{x+5}\) — это квадрат четвёртого корня.
Обозначили:
\[ t=\sqrt[4]{x+5} \]
То есть \(t=(x+5)^{\frac14}\).
Тогда:
\[ t^2=\left((x+5)^{\frac14}\right)^2=(x+5)^{\frac12}=\sqrt{x+5} \]
Значит, первое слагаемое заменяется на \(t^2\):
\[ \sqrt{x+5}=t^2 \]
Второе слагаемое заменяется на \(t\):
\[ 3\sqrt[4]{x+5}=3t \]
Поэтому всё уравнение
\[ \sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0 \]
превращается в
\[ t^2-3t+2=0 \]
Коэффициент \(-3\) появился из множителя перед корнем: было \(-3\sqrt[4]{x+5}\), стало \(-3t\).
