реши №15.4 (1;3)
Сверь числа и знаки с фото.
15.4. Решите уравнение, используя метод замены переменной:
- \(x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0\);
- \(\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8\);
Краткий ответ: №15.4(1): \(x=-1;\ 5\). №15.4(3): \(x=1;\ 2\).
№15.4(1)
\[ x^2-4x-3\sqrt{x^2-4x+20}+10=0 \]
Замечаем, что под корнем стоит \(x^2-4x+20\), а снаружи есть \(x^2-4x\). Пусть \[ t=\sqrt{x^2-4x+20},\quad t\ge0. \] Тогда \[ t^2=x^2-4x+20 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x=t^2-20. \] Подставляем в уравнение: \[ (t^2-20)-3t+10=0 \quad\Rightarrow\quad t^2-3t-10=0. \] Корни: \(t=5\) и \(t=-2\). Так как \(t\ge0\), подходит только \(t=5\). Возвращаемся к \(x\): \[ \sqrt{x^2-4x+20}=5 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x+20=25 \] \[ x^2-4x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1;\ 5. \] Проверка подстановкой подтверждает оба корня.
№15.4(3)
\[ \sqrt{2x^2-6x+40}=x^2-3x+8 \]
Пусть \[ t=\sqrt{2x^2-6x+40},\quad t\ge0. \] Тогда \[ t^2=2x^2-6x+40=2(x^2-3x)+40, \] откуда \[ x^2-3x=\frac{t^2-40}{2}. \] Правая часть уравнения: \[ x^2-3x+8=\frac{t^2-40}{2}+8=\frac{t^2-24}{2}. \] Получаем: \[ t=\frac{t^2-24}{2} \quad\Rightarrow\quad t^2-2t-24=0. \] Корни: \(t=6\) и \(t=-4\). Условию \(t\ge0\) удовлетворяет только \(t=6\). Тогда \[ \sqrt{2x^2-6x+40}=6 \quad\Rightarrow\quad 2x^2-6x+40=36 \] \[ x^2-3x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1;\ 2. \] При \(x=1\) и \(x=2\) левая и правая части равны \(6\), поэтому оба корня подходят.
В чём принцип: ищем выражение, которое повторяется в уравнении, и обозначаем его новой переменной. Если заменяем корень, сразу учитываем \(t\ge0\). После решения относительно \(t\) возвращаемся к \(x\) и обязательно проверяем найденные корни.
Обсуждение
2 сообщенияМожно решить дискриминантом? Если да, то реши дискриминантом
Да, можно. Правда, само исходное уравнение не является квадратным из‑за корня, поэтому сначала делаем замену, а все получившиеся квадратные уравнения решаем через дискриминант: \[ D=b^2-4ac,\qquad t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
№15.4(1)
\[ x^2-4x-3\sqrt{x^2-4x+20}+10=0 \]
Пусть \[ t=\sqrt{x^2-4x+20},\qquad t\ge 0. \] Тогда \[ t^2=x^2-4x+20 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x=t^2-20. \]
Подставляем: \[ (t^2-20)-3t+10=0 \] \[ t^2-3t-10=0. \]
Решаем через дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49,\qquad \sqrt{D}=7. \] \[ t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2}. \] Значит, \(t=5\) или \(t=-2\). Так как \(t\ge 0\), остаётся \[ t=5. \]
Возвращаемся к \(x\): \[ \sqrt{x^2-4x+20}=5 \] \[ x^2-4x+20=25 \] \[ x^2-4x-5=0. \]
Снова дискриминант: \[ D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,\qquad \sqrt{D}=6. \] \[ x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}. \] Отсюда \[ x_1=-1,\qquad x_2=5. \]
Проверка: при \(x=-1\) и \(x=5\) подкоренное выражение равно \(25\), корень равен \(5\), и уравнение обращается в ноль. Оба корня подходят.
Ответ: \(x=-1;\ 5\).
№15.4(3)
\[ \sqrt{2x^2-6x+40}=x^2-3x+8 \]
Пусть \[ t=\sqrt{2x^2-6x+40},\qquad t\ge 0. \] Тогда \[ t^2=2x^2-6x+40, \] откуда \[ x^2-3x=\frac{t^2-40}{2}. \]
Правая часть: \[ x^2-3x+8=\frac{t^2-40}{2}+8=\frac{t^2-24}{2}. \]
Получаем уравнение: \[ t=\frac{t^2-24}{2}. \] Умножим на \(2\): \[ 2t=t^2-24 \] \[ t^2-2t-24=0. \]
Дискриминант: \[ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100,\qquad \sqrt{D}=10. \] \[ t_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}. \] Значит, \(t=6\) или \(t=-4\). Условию \(t\ge 0\) удовлетворяет только \[ t=6. \]
Возвращаемся к \(x\): \[ \sqrt{2x^2-6x+40}=6 \] \[ 2x^2-6x+40=36 \] \[ 2x^2-6x+4=0. \] Разделим на \(2\): \[ x^2-3x+2=0. \]
Дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{D}=1. \] \[ x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}. \] Отсюда \[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Проверка: при \(x=1\) левая часть равна \(\sqrt{36}=6\), правая \(1-3+8=6\); при \(x=2\) левая часть тоже \(6\), правая \(4-6+8=6\). Оба корня подходят.
Ответ: \(x=1;\ 2\).
Вывод: дискриминантом решаются оба квадратных уравнения \(t^2-3t-10=0\) и \(t^2-2t-24=0\), а затем квадратные уравнения относительно \(x\). Главное — не забыть условие \(t\ge 0\) и проверить корни.
