решай
Сверь числа и знаки с фото.
\[6x^{4} + 3{,}6x^{2} = 0\] \[y^{3} - 6y = 0\]
Кратко
- \(6x^4+3{,}6x^2=0\) — в действительных числах единственный корень: \(x=0\).
- \(y^3-6y=0\) — корни: \(y=0\), \(y=\sqrt6\), \(y=-\sqrt6\).
Как решать
Главный приём: разложить уравнение на множители. Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.
1) Вынесем общий множитель \(x^2\):
\[ 6x^4+3{,}6x^2=0 \]
\[ x^2(6x^2+3{,}6)=0 \]
Значит, либо \(x^2=0\), либо \(6x^2+3{,}6=0\).
- Из \(x^2=0\) получаем \(x=0\).
- Из \(6x^2+3{,}6=0\) получаем \(6x^2=-3{,}6\), то есть \(x^2=-0{,}6\). Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней здесь нет.
Ответ: \(x=0\).
Проверка:
\[ 6\cdot0^4+3{,}6\cdot0^2=0 \]
Всё верно.
2) Вынесем общий множитель \(y\):
\[ y^3-6y=0 \]
\[ y(y^2-6)=0 \]
Значит, либо \(y=0\), либо \(y^2-6=0\).
- \(y=0\).
- Из \(y^2=6\) получаем два корня: \(y=\sqrt6\) и \(y=-\sqrt6\), потому что оба числа в квадрате дают \(6\).
Ответ: \(y=0,\ y=\sqrt6,\ y=-\sqrt6\).
Проверка для \(y=\sqrt6\):
\[ (\sqrt6)^3-6\sqrt6=6\sqrt6-6\sqrt6=0 \]
Важно: нельзя сразу делить уравнение на \(x^2\) или на \(y\) — так теряется корень \(0\). Сначала выносим общий множитель.
Обсуждение
8 сообщенийРешай
Решай
Решение:
\[ 9x^3-18x^2-x+2=0 \]
Сгруппируем слагаемые:
\[ (9x^3-18x^2)-(x-2)=0 \]
\[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \]
Вынесем общий множитель \((x-2)\):
\[ (x-2)(9x^2-1)=0 \]
Разложим \(9x^2-1\) как разность квадратов:
\[ (x-2)(3x-1)(3x+1)=0 \]
Каждый множитель приравниваем к нулю:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
\[ 3x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{3} \]
\[ 3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{3} \]
Ответ:
\[ x_1=2,\qquad x_2=\frac{1}{3},\qquad x_3=-\frac{1}{3} \]
Проверка для \(x=2\):
\[ 9\cdot8-18\cdot4-2+2=72-72=0 \]
Всё верно.
Ответ:
\[
x=-\frac13,\qquad x=\frac13,\qquad x=2.
\]
Решение
Сгруппируем слагаемые:
\[ 9x^3-18x^2-x+2=0 \]
\[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \]
Вынесем общий множитель \((x-2)\):
\[ (x-2)(9x^2-1)=0 \]
Разложим разность квадратов:
\[ (x-2)(3x-1)(3x+1)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
\[ 3x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac13 \]
\[ 3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac13 \]
Проверка для \(x=2\):
\[ 9\cdot 8-18\cdot 4-2+2=72-72=0 \]
Всё сходится.
Верхняя строка на фото обрезана, поэтому я решил только полностью видимое уравнение. Если её тоже нужно решить, пришли её целиком.
А как решить x⁴ − 5x² + 4 = 0? Дескримант решай
Ответ:
\[
x=\pm 1,\qquad x=\pm 2
\]
то есть \(x_1=1,\ x_2=-1,\ x_3=2,\ x_4=-2\).
Решение через дискриминант (замена \(t=x^2\))
Уравнение биквадратное. Обозначим
\[ t=x^2,\qquad t\ge 0 \]
Тогда \(x^4=t^2\), и уравнение превращается в квадратное:
\[ t^2-5t+4=0 \]
Считаем дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9 \]
\[ \sqrt{D}=3 \]
Корни:
\[ t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2} \]
\[ t_1=\frac{5+3}{2}=4,\qquad t_2=\frac{5-3}{2}=1 \]
Оба значения неотрицательны, значит оба подходят.
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2 \]
\[ x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1 \]
Проверка для \(x=2\):
\[ 16-5\cdot 4+4=16-20+4=0 \]
Всё сходится.
Важный момент: после нахождения \(t\) всегда проверяй условие \(t\ge 0\). Если бы, например, получилось \(t=-3\), то уравнение \(x^2=-3\) действительных корней не даёт, и это значение \(t\) просто отбрасывают.
Второй способ — сразу разложить на множители:
\[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Отсюда те же корни.
Решай дескримантом
Ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=\frac13,\qquad x_3=-\frac13.
\]
Важно: на фото кубическое уравнение
\[
9x^3-18x^2-x+2=0,
\]
а у кубического уравнения нет одного дискриминанта, как у квадратного. Но его можно разложить на множители, и тогда квадратную часть решить через дискриминант.
1. Группируем:
\[ (9x^3-18x^2)-(x-2)=0 \]
\[ 9x^2(x-2)-(x-2)=0 \]
\[ (x-2)(9x^2-1)=0 \]
2. Первый множитель:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
3. Второй множитель — квадратное уравнение \(9x^2-1=0\).
Здесь \(a=9,\ b=0,\ c=-1\):
\[ D=b^2-4ac=0^2-4\cdot 9\cdot(-1)=36 \]
\[ \sqrt{D}=6 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{0\pm 6}{2\cdot 9} =\frac{\pm 6}{18} =\pm\frac13 \]
Получаем:
\[ x=\frac13,\qquad x=-\frac13 \]
Проверка для \(x=2\):
\[ 9\cdot 8-18\cdot 4-2+2=72-72=0 \]
Проверка для \(x=\frac13\):
\[ 9\cdot\frac1{27}-18\cdot\frac19-\frac13+2 =\frac13-2-\frac13+2=0 \]
Всё сходится.
