Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]

Как это получается

Способ 1. Разложение на множители (теорема Виета).

Для уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\), то есть:

\[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \]

Подходят числа \(2\) и \(3\): \(2 + 3 = 5\), \(2 \cdot 3 = 6\). Значит,

\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x - 2 = 0\) или \(x - 3 = 0\).

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда).

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Проверка

Подставим \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) — верно. Подставим \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) — верно.

Принцип на будущее: если дискриминант положительный — два корня, равен нулю — один корень, отрицательный — корней нет (в 9 классе на действительных числах). Виету удобно применять, когда коэффициент при \(x^2\) равен 1 и корни — целые числа; в остальных случаях надёжнее дискриминант.