Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон: 1) a = 17 см, b = 6 см, α = 156°; 2) b = 7 см, c = 8 см, β = 65°; 3) a = 6 см, b = 5 см, β = 50°.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задача 4. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон: 1) \(a = 17\) см, \(b = 6\) см, \(\alpha = 156^\circ\); 2) \(b = 7\) см, \(c = 8\) см, \(\beta = 65^\circ\); 3) \(a = 6\) см, \(b = 5\) см, \(\beta = 50^\circ\).
Решение.
По теореме синусов \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\). Отсюда \(\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}\). Получаем \(\sin \beta = \frac{6 \sin 156^\circ}{17} = \frac{6 \sin 24^\circ}{17} \approx \frac{6 \cdot 0{,}41}{17} \approx 0{,}14\). Так как угол \(\alpha\) данного треугольника тупой, то угол \(\beta\) — острый. Тогда находим, что \(\beta \approx 8^\circ\). Используя теорему о сумме углов треугольника, получим: \(\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)\), \(\gamma \approx 16^\circ\). По теореме синусов \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}\), \(c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}\). Получаем \(c \approx \frac{17 \sin 16^\circ}{\sin 156^\circ} \approx \frac{17 \cdot 0{,}28}{0{,}41} \approx 11{,}6\) (см). Ответ: \(\beta \approx 8^\circ\), \(\gamma \approx 16^\circ\), \(c \approx 11{,}6\) см.
По теореме синусов \(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\). Отсюда \(\sin \gamma = \frac{c \sin \beta}{b}\), \(\sin \gamma = \frac{8 \sin 65^\circ}{7} \approx \frac{8 \cdot 0{,}91}{7} \approx 1{,}04\). Так как \(1{,}04 > 1\), то угла \(\gamma\) не существует. Ответ: задача не имеет решения.
По теореме синусов \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\). Отсюда \(\sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b}\). Получаем \(\sin \alpha = \frac{6 \sin 50^\circ}{5} \approx \frac{6 \cdot 0{,}77}{5} \approx 0{,}92\).
Ответ: 1) \(\beta\approx8^\circ\), \(\gamma\approx16^\circ\), \(c\approx11{,}6\) см; 2) решений нет; 3) \(\alpha\approx67^\circ\), \(\gamma\approx63^\circ\), \(c\approx5{,}8\) см или \(\alpha\approx113^\circ\), \(\gamma\approx17^\circ\), \(c\approx1{,}9\) см.
Почему так. В задаче 4 используется теорема синусов: \[ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}. \] Сначала находим синус неизвестного угла. Если \(\sin>1\), треугольника нет. Если \(\sin<1\), по синусу возможны два угла — острый и тупой, поэтому в п. 3 два ответа.
\(a=17\), \(b=6\), \(\alpha=156^\circ\): \[ \sin\beta=\frac{6\sin156^\circ}{17}\approx0{,}14. \] Так как \(\alpha\) тупой, \(\beta\) острый: \(\beta\approx8^\circ\). Тогда \[ \gamma=180^\circ-156^\circ-8^\circ\approx16^\circ,\qquad c=\frac{17\sin16^\circ}{\sin156^\circ}\approx11{,}6\text{ см}. \]
\(b=7\), \(c=8\), \(\beta=65^\circ\): \[ \sin\gamma=\frac{8\sin65^\circ}{7}\approx1{,}04>1. \] Угла \(\gamma\) не существует, поэтому решений нет.
\(a=6\), \(b=5\), \(\beta=50^\circ\): \[ \sin\alpha=\frac{6\sin50^\circ}{5}\approx0{,}92. \] Отсюда \(\alpha\approx67^\circ\) или \(\alpha\approx113^\circ\). Оба варианта подходят, так как \(a>b\), значит \(\alpha>\beta=50^\circ\). Для каждого случая \(c=\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}\):
- \(\alpha\approx67^\circ\), \(\gamma\approx63^\circ\), \(c\approx5{,}8\) см;
- \(\alpha\approx113^\circ\), \(\gamma\approx17^\circ\), \(c\approx1{,}9\) см.
В книге решение п. 3 оборвано на \(\sin\alpha\approx0{,}92\); дальше как раз рассматриваются эти два случая.
Обсуждение
1 сообщениеобъясни мне задачу 4
