Давай решим
Сверь числа и знаки с фото.
План скоростей Скорость точки A \(V_A=\omega_1\times OA=9\times0{,}04=0{,}36\ \text{м/с}\) Масштабный коэффициент \(\mu_V=\frac{V_A}{pa}=\frac{0{,}36}{60}=0{,}006\ \text{м/с/мм}\) Скорость точки B, принадлежащей кулисе 3 \(\vec V_B=\vec V_A+\vec V_{BA}\) \(V_{BA}\parallel BC\) \(V_B=pb\times\mu_V=22\times0{,}006=0{,}132\ \text{м/с}\) \(V_{BA}=ba\times\mu_V=56\times0{,}006=0{,}336\ \text{м/с}\) Скорость точки D по теореме подобия \(\frac{CD}{BC}=\frac{pd}{pb}\) \(pd=pb\times\frac{CD}{BC}=22\times\frac{150}{108}=31\ \text{мм}\) \(V_D=pd\times\mu_V=31\times0{,}006=0{,}186\ \text{м/с}\) Угловая скорость кулисы 3 \(\omega_3=\frac{V_D}{CD}=\frac{0{,}186}{0{,}15}=1{,}24\ \text{рад/с}\)
План ускорений [Рисунок: план ускорений; полюс \(p\), точки \(n_1\), \(n_3\), \(a\), \(b\), \(k\), \(d\); \(p\) соединена с \(n_1\), \(b\), \(d\); \(a\) соединена с \(k\) и \(b\); слева у края стрелка \(\varepsilon_3\).] Ускорение точки A \(\vec a_A=\vec a_A^n+\vec a_A^\tau\) \(a_A^n=\omega_1^2\times OA=9^2\times0{,}04=3{,}24\ \text{м/с}^2\) \(a_A^\tau=\varepsilon_1\times OA=25\times0{,}04=1\ \text{м/с}^2\) Масштабный коэффициент \(\mu_a=\frac{a_A^n}{pn_1}=\frac{3{,}24}{80}=0{,}0405\ \text{м/с}^2/\text{мм}\) \(n_1a=\frac{a_A^\tau}{\mu_a}=\frac{1}{0{,}0405}=25\ \text{мм}\) Ускорение точки B, принадлежащей кулисе 3 \(\vec a_B=\vec a_A+\vec a_{BA}^k+\vec a_{BA}^r\) \(a_B^n=\omega_3^2\times BC=1{,}24^2\times0{,}108=0{,}166\ \text{м/с}^2\) \(a_{BA}^k=2V_{BA}\times\omega_3=2\times0{,}336\times1{,}24=0{,}833\ \text{м/с}^2\) \(pn_3=\frac{a_B^n}{\mu_a}=\frac{0{,}166}{0{,}0405}=4\ \text{мм}\) \(a_k=\frac{a_{BA}^k}{\mu_a}=\frac{0{,}833}{0{,}0405}=21\ \text{мм}\) Ускорение \(a_B^\tau\) \(a_B^\tau=n_3b\times\mu_a=44\times0{,}0405=1{,}782\ \text{м/с}^2\) Ускорение точки D по теореме подобия \(\frac{CD}{BC}=\frac{pd}{pb}\) \(pd=pb\times\frac{CD}{BC}=44\times\frac{150}{108}=61\ \text{мм}\) \(a_D=pd\times\mu_a=61\times0{,}0405=2{,}4705\ \text{м/с}^2\) Угловое ускорение кулисы 3 \(\varepsilon_3=\frac{a_B^\tau}{BC}=\frac{1{,}782}{0{,}108}=16{,}5\ \text{рад/с}^2\)
OA=40 мм OC=100 мм CD=150 мм \(\varphi=45^\circ\) \(\omega_1=28\ \text{рад/с}\) \(\varepsilon_1=150\ \text{рад/с}\) [Рисунок: фрагмент схемы механизма; видны точки \(O\) и \(A\), от \(A\) вниз идёт вертикальная линия; нижняя часть схемы обрезана.]
На первом фото — пример с другими \(\omega_1\) и \(\varepsilon_1\), поэтому его числа не переношу. Считаю по данным второго фото; \(\varphi\) — угол между \(OA\) и \(OC\), \(B\) — точка кулисы, совпадающая с ползуном \(A\).
Кратко (модули): \[ BC=AC=77{,}1\ \text{мм}=0{,}0771\ \text{м}, \] \[ V_A=1{,}12;\quad V_B=0{,}446;\quad V_{BA}=1{,}03;\quad V_D=0{,}868\ \text{м/с},\quad \omega_3=5{,}79\ \text{рад/с}. \] При \(\varepsilon_1\), направленном противоположно \(\omega_1\): \[ a_B^\tau\approx43{,}0\ \text{м/с}^2,\quad |\varepsilon_3|\approx5{,}58\cdot10^2\ \text{рад/с}^2,\quad |a_D|\approx83{,}9\ \text{м/с}^2. \]
Ход решения
Сторона кулисы. Так как \(B\) совпадает с \(A\): \[ BC=AC=\sqrt{OA^2+OC^2-2\,OA\cdot OC\cos\varphi} =\sqrt{40^2+100^2-2\cdot40\cdot100\cos45^\circ} \approx77{,}1\ \text{мм}. \]
Скорости. Точка \(A\): \[ V_A=\omega_1 OA=28\cdot0{,}04=1{,}12\ \text{м/с}. \] Для точки \(B\): \[ \vec V_A=\vec V_B+\vec V_{BA},\qquad V_B\perp BC,\quad V_{BA}\parallel BC. \] Из треугольника скоростей: \[ V_B=V_A\cos66{,}5^\circ\approx0{,}446\ \text{м/с}, \] \[ V_{BA}=V_A\sin66{,}5^\circ\approx1{,}03\ \text{м/с}. \] Тогда \[ \omega_3=\frac{V_B}{BC}=\frac{0{,}446}{0{,}0771}=5{,}79\ \text{рад/с}. \] Для точки \(D\), лежащей на той же кулисе: \[ V_D=\omega_3 CD=5{,}79\cdot0{,}15=0{,}868\ \text{м/с}. \]
Ускорения. Нормальное и касательное ускорения точки \(A\): \[ a_A^n=\omega_1^2 OA=28^2\cdot0{,}04=31{,}36\ \text{м/с}^2, \] \[ a_A^\tau=|\varepsilon_1|OA=150\cdot0{,}04=6{,}00\ \text{м/с}^2. \] Для кулисы: \[ a_B^n=\omega_3^2 BC=5{,}79^2\cdot0{,}0771=2{,}58\ \text{м/с}^2, \] \[ a_{\text{кор}}=2\omega_3V_{BA}=2\cdot5{,}79\cdot1{,}03=11{,}89\ \text{м/с}^2. \] Векторное уравнение: \[ \vec a_A=\vec a_B^n+\vec a_B^\tau+\vec a_{BA}^{r}+\vec a_{\text{кор}}. \] Проектируя его на направление, перпендикулярное кулисе, находят \(a_B^\tau\), а затем \[ |\varepsilon_3|=\frac{|a_B^\tau|}{BC}. \]
При \(\varepsilon_1\), противоположном \(\omega_1\), получается: \[ a_B^\tau\approx43{,}0\ \text{м/с}^2,\qquad |\varepsilon_3|\approx558\ \text{рад/с}^2. \] Тогда \[ a_D^n=\omega_3^2 CD\approx5{,}02\ \text{м/с}^2, \] \[ a_D^\tau=|\varepsilon_3|CD\approx83{,}8\ \text{м/с}^2, \] \[ |a_D|=\sqrt{(a_D^n)^2+(a_D^\tau)^2}\approx83{,}9\ \text{м/с}^2. \]
Если на схеме \(\varepsilon_1\) направлено в ту же сторону, что и \(\omega_1\), то \[ a_B^\tau\approx38{,}3\ \text{м/с}^2,\qquad |\varepsilon_3|\approx496\ \text{рад/с}^2,\qquad |a_D|\approx74{,}6\ \text{м/с}^2. \]
Обсуждение
2 сообщенияПо формулам данным в примере вставит нужные данные составить план скоростей и план ускорений сделать расчеты и начертить планы
Ниже — готовый расчёт и разметка для вычерчивания планов. Принял для чертежа: \(OA=0{,}040\) м, \(OC=0{,}100\) м, \(CD=0{,}150\) м, \(\varphi=45^\circ\), \(\omega_1=28\) рад/с, \(\varepsilon_1=150\) рад/с². Ось \(OA\) — вправо, точка \(C\) — вверх-вправо, \(V_A\) направлена вниз, то есть \(\omega_1\) — по часовой стрелке; \(\varepsilon_1\) направлено противоположно \(\omega_1\).
\[ AC=BC=\sqrt{40^2+100^2-2\cdot40\cdot100\cos45^\circ}=77{,}1\ \text{мм}=0{,}0771\ \text{м}. \]
Вектор \(\vec e\) направлен от \(A\) к \(C\):
\[ \vec e=(0{,}398;\ 0{,}917), \qquad \vec n=(-0{,}917;\ 0{,}398), \]
где \(\vec n\perp \vec e\).
1. План скоростей
\[ V_A=\omega_1 OA=28\cdot0{,}04=1{,}12\ \text{м/с}, \]
\[ V_B=V_A\cos66{,}5^\circ=0{,}446\ \text{м/с}, \]
\[ V_{BA}=V_A\sin66{,}5^\circ=1{,}03\ \text{м/с}, \]
\[ \omega_3=\frac{V_B}{BC}=\frac{0{,}446}{0{,}0771}=5{,}79\ \text{рад/с} \]
— против часовой стрелки.
\[ V_D=\omega_3 CD=5{,}79\cdot0{,}150=0{,}868\ \text{м/с}. \]
Масштаб
Возьмите
\[ \mu_V=0{,}2\ \frac{\text{м/с}}{\text{см}}. \]
Тогда длины отрезков на плане:
\[ P_v a=5{,}60\ \text{см},\qquad P_v b=2{,}23\ \text{см}, \]
\[ ba=5{,}14\ \text{см},\qquad P_v d=4{,}34\ \text{см}. \]
Координаты для точного вычерчивания
Ось \(x\) — вправо, ось \(y\) — вверх, полюс \(P_v=(0;0)\).
| Точка плана | \(x\), см | \(y\), см | Что изображает |
|---|---|---|---|
| \(P_v\) | 0 | 0 | полюс |
| \(a\) | 0 | \(-5{,}60\) | \(V_A\) |
| \(b\) | \(2{,}04\) | \(-0{,}89\) | \(V_B\) |
| \(d\) | \(3{,}98\) | \(-1{,}73\) | \(V_D\) |
Порядок построения
- Из полюса \(P_v\) отложите \(P_v a\perp OA\) вниз — это \(V_A\).
- Из \(P_v\) проведите прямую, перпендикулярную \(BC\), — направление \(V_B\).
- Из точки \(a\) проведите прямую, параллельную \(BC\). На пересечении с предыдущей прямой получите \(b\).
- \(P_v b=V_B\), \(ba=V_{BA}\).
- На луче \(P_v b\) в ту же сторону отложите \(P_v d=4{,}34\) см. Это \(V_D\).
Контроль: \(P_v a=P_v b+ba\).
2. План ускорений
\[ a_A^n=\omega_1^2 OA=28^2\cdot0{,}04=31{,}36\ \text{м/с}^2, \]
\[ a_A^\tau=\varepsilon_1 OA=150\cdot0{,}04=6{,}00\ \text{м/с}^2. \]
Для выбранного направления \(\varepsilon_1\):
- \(a_A^n\) — влево, от \(A\) к \(O\);
- \(a_A^\tau\) — вверх.
Далее:
\[ a_B^n=\omega_3^2 BC=5{,}79^2\cdot0{,}0771=2{,}58\ \text{м/с}^2, \]
\[ a_{\text{кор}}=2\omega_3 V_{BA} =2\cdot5{,}79\cdot1{,}03=11{,}9\ \text{м/с}^2. \]
Из векторного уравнения
\[ \vec a_A=\vec a_B^n+\vec a_B^\tau+\vec a_{rel}+\vec a_{\text{кор}} \]
получаем:
\[ a_B^\tau=43{,}0\ \text{м/с}^2, \]
\[ a_{rel}=9{,}57\ \text{м/с}^2, \]
\[ |\varepsilon_3|=\frac{a_B^\tau}{BC} =\frac{43{,}0}{0{,}0771}=558\ \text{рад/с}^2. \]
Направление \(\varepsilon_3\) — по часовой стрелке.
Для точки \(D\), лежащей на продолжении кулисы за \(A\):
\[ a_D^n=\omega_3^2 CD=5{,}79^2\cdot0{,}150=5{,}02\ \text{м/с}^2, \]
\[ a_D^\tau=|\varepsilon_3|CD=558\cdot0{,}150=83{,}7\ \text{м/с}^2, \]
\[ a_D=\sqrt{(a_D^n)^2+(a_D^\tau)^2} =\sqrt{5{,}02^2+83{,}7^2}\approx83{,}9\ \text{м/с}^2. \]
Масштаб
Возьмите
\[ \mu_a=10\ \frac{\text{м/с}^2}{\text{см}}. \]
Координаты точек плана ускорений
Полюс \(P_a=(0;0)\).
| Точка | \(x\), см | \(y\), см | Что изображает |
|---|---|---|---|
| \(a\) | \(-3{,}14\) | \(0{,}60\) | \(a_A\) |
| \(b_1\) | \(0{,}10\) | \(0{,}24\) | \(a_B^n\) |
| \(b\) | \(-3{,}85\) | \(1{,}95\) | конец \(a_B\) |
| \(Q\) | \(-4{,}23\) | \(1{,}07\) | вспомогательная точка |
| \(d\) | \(-7{,}48\) | \(3{,}80\) | \(a_D\) |
Длины:
\[ P_a a=3{,}20\ \text{см}, \qquad P_a b_1=0{,}26\ \text{см}, \]
\[ b_1b=a_B^\tau=4{,}30\ \text{см}, \qquad bQ=a_{rel}=0{,}96\ \text{см}, \]
\[ Qa=a_{\text{кор}}=1{,}19\ \text{см}, \qquad P_a d=8{,}39\ \text{см}. \]
Порядок построения плана ускорений
- Из полюса \(P_a\) отложите \(P_a a=a_A\): влево на \(3{,}14\) см и вверх на \(0{,}60\) см.
- Из точки \(a\) отложите вектор \(-a_{\text{кор}}\); получите точку \(Q\). Практически: из \(a\) влево на \(1{,}09\) см и вверх на \(0{,}47\) см.
- Из \(P_a\) отложите \(a_B^n\) в направлении от \(B\) к \(C\), то есть вверх-вправо: \(0{,}10\) см вправо и \(0{,}24\) см вверх. Получите \(b_1\).
- Через \(b_1\) проведите прямую перпендикулярно \(BC\) — направление \(a_B^\tau\).
- Через \(Q\) проведите прямую параллельно \(BC\). Пересечение с предыдущей прямой даст точку \(b\).
- Тогда \(b_1b=a_B^\tau\), \(bQ=a_{rel}\), \(Qa=a_{\text{кор}}\), \(P_a b=a_B\).
- Для точки \(D\) луч \(P_a b\) продолжите в ту же сторону. Так как \[ \frac{CD}{CB}=\frac{0{,}150}{0{,}0771}=1{,}946, \] то \[ P_a d=1{,}946\,P_a b=8{,}39\ \text{см}. \] Тогда \(P_a d=a_D\).
Контроль: сумма векторов \[ P_a b_1+b_1b+bQ+Qa \] должна прийти в точку \(a\).
Если \(\varepsilon_1\) направлено так же, как \(\omega_1\)
План скоростей не меняется. В плане ускорений:
\[ a_B^\tau=38{,}3\ \text{м/с}^2, \qquad a_{rel}=20{,}6\ \text{м/с}^2, \]
\[ |\varepsilon_3|=496\ \text{рад/с}^2, \qquad a_D=74{,}6\ \text{м/с}^2. \]
При масштабе \(\mu_a=10\ \text{м/с}^2/\text{см}\):
\[ a=(-3{,}14;\ -0{,}60),\quad b_1=(0{,}10;\ 0{,}24), \]
\[ b=(-3{,}41;\ 1{,}76),\quad Q=(-4{,}23;\ -0{,}13), \]
\[ d=(-6{,}63;\ 3{,}43)\ \text{см}. \]
Точка \(D\) взята на продолжении кулисы за \(A\). Если по вашей схеме \(D\) лежит с другой стороны от \(C\), то \(P_v d\) и \(P_a d\) нужно откладывать в противоположную сторону от полюса.
