Контрольная работа № 1. Часть B. Запишите ответ к заданиям 4 и 5.

На фото несколько заданий. Ниже — решения заданий 4–7 из контрольной работы.

Краткие ответы

4. \(2\sqrt{5}\)
5. \((-1;4)\)
6. \(9\)
   7*. \(10\)

Как решать

1. №4. Вектор \(\vec b\) имеет координаты \((4;-2)\), поэтому его длина: \[ |\vec b|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5. \]

2. №5. По рисунку: \[ K(-5;7),\qquad M(3;1). \] Координаты середины отрезка — это средние арифметические координат концов: \[ x=\frac{-5+3}{2}=-1,\qquad y=\frac{7+1}{2}=4. \] Значит, середина \(KM\) имеет координаты \((-1;4)\).

3. №6. Отрезок \(MP\) не пересекает прямую \(a\), значит точки \(M\) и \(P\) лежат по одну сторону от неё. Перпендикуляры \(MM_1\) и \(PP_1\) параллельны, поэтому \(TT_1\) — средняя линия трапеции \(MM_1P_1P\): \[ TT_1=\frac{MM_1+PP_1}{2}=\frac{4+14}{2}=9. \]

4. №7.* Окружность \(x^2+y^2=25\) имеет радиус \(5\), поэтому \[ K(5;0),\qquad OK=5. \] У точки \(P\) абсцисса \(-3\). Подставляем в уравнение окружности: \[ (-3)^2+y^2=25 \Rightarrow y^2=16 \Rightarrow y=\pm4. \] Высота треугольника \(OKP\), проведённая к стороне \(OK\), равна \(|y|=4\). Тогда \[ S_{OKP}=\frac12\cdot OK\cdot 4=\frac12\cdot5\cdot4=10. \]